[franma]

Hola a todos,

En clase vimos el siguiente resultado:
Sean \( X \) e \( Y \) espacios normados y sea \( T:(X,||\cdot||_X)\to (Y,||\cdot ||_Y) \) lineal y continua, entonces:

• \( T:(X,\omega_X)\to (Y,\omega_Y) \) es continua.
• \( T':(Y',\omega^*_Y)\to (X',\omega^*_X) \) es continua, donde \( T'(\psi)=\psi \circ T \).

Mi pregunta es si este vale mas en general cuando \( (X,\tau_X) \) e \( (Y,\tau_Y) \) son EVTs "a secas". La prueba que vimos en clase es solamente utilizar la definición de convergencia en las topologías débiles, pero tal vez me este comiendo algún detalle.

Saludos,
Franco.

[Eparoh]

Hola franma.

Si vale para EVTs, pero en los resultados de convergencia para la caracterización de la topología débil necesitas redes en lugar de sucesiones, que es como tal vez te los enunciaron para espacios normados.

Ahora, también ten en cuenta que, aunque se puede definir y la caracterización por convergencia de redes es la misma, para los EVTs la topología debil* débil no es siempre Hausdorff, por lo que depende de la definición que tengas de EVT, es posible que los espacios \( (Y,\omega_Y), (X, \omega_X) \) no sean EVTs (lo único que puede fallar es que no sean Hausdorff).

Un saludo.

CORREGIDO

[franma]

Hola Eparoh ,

Si vale para EVTs, pero en los resultados de convergencia para la caracterización de la topología débil necesitas redes en lugar de sucesiones, que es como tal vez te los enunciaron para espacios normados.

Los vimos todo enunciado en términos de redes, por ejemplo: \( x_i \xrightarrow{\omega} x \) si y sólo si \( \varphi(x_i)\to \varphi(x) \) para toda \( \varphi\in X' \).

Ahora, también ten en cuenta que, aunque se puede definir y la caracterización por convergencia de redes es la misma, para los EVTs la topología debil* no es siempre Hausdorff, por lo que depende de la definición que tengas de EVT, es posible que los espacios \( (Y',\omega_Y^*), (X', \omega_X^*) \) no sean EVTs (lo único que puede fallar es que no sean Hausdorff).

Bien, en la definición que vimos en clase un EVT no precisa ser Hausdorff, pero me ha quedado una duda:
Yo diría que la topología débil * siempre es Hausdorff, pues viene dada por una familia de seminormas que separa puntos, la que si no es necesariamente Hausdorff es la  topología débil, ¿no?

Un saludo,
Franco.

[Eparoh]

Hola franma.

Bien, en la definición que vimos en clase un EVT no precisa ser Hausdorff, pero me ha quedado una duda:
Yo diría que la topología débil * siempre es Hausdorff, pues viene dada por una familia de seminormas que separa puntos, la que si no es necesariamente Hausdorff es la  topología débil, ¿no?

Completamente cierto sí, cambié el orden

Un saludo.

[franma]

Hola Eparoh ,

¡Todo claro entonces! Muchas gracias por la ayuda.

Un saludo,
Franco.