Hola
Demuestra que las siguientes curvas planas proyectivas son irreducibles y calcula sus puntos singulares con multiplicidades y tangentes:
i) \( V(XY^4 +YZ^4 +XZ^4) \),
ii) \( V(X^2Y^3 +X^2Z^3 +Y^2Z^3) \),
iii)\( V(Y^2Z−X(X−Z)(X−tZ) \),\( t \in \mathbb{C} \)
Te indico el primero, intenta luego el resto.
En primer lugar \( XY^4+YZ^4+XZ^4=X(Y^4+Z^4)+YZ^4 \) es irreducible porque lo es como polinomio de grado \( 1 \) en \( X \).
Los puntos singulares son aquellos en que se anulan todas las parciales:
\( 0=\dfrac{\partial }{\partial X}=Y^4+Z^4 \)
\( 0=\dfrac{\partial }{\partial Y}=4XY^3+Z^4 \)
\( 0=\dfrac{\partial }{\partial Z}=4YZ^3+4XZ^3=4Z^3(Y+X) \)
De la última ecuación, o bien \( Z=0 \) o bien \( Y+X=0 \).
Si \( Z=0 \), de la primera ecuación \( Y=0 \) y la segunda se cumple siempre. Por tanto tenemos el punto singular \( (X:0:0)=(1:0:0) \) (recuerda que son coordenadas proyectivas).
Si \( Y+X=0 \) entonces la segunda ecuación queda \( Z^4=-4Y^4 \) y combinada con la primera \( Y=Z=0 \) y también \( X=0 \). Pero las tres coordenadas no pueden anularse simultáneamente.
El único punto crítico es el \( (1:0:0) \); para analizarlo tomamos la carta afín \( X\neq 0 \); equivalentemente la versión afín de la curva haciendo \( X=1 \) y estudiamos su polinomio centrado en el punto crítico \( (Y,Z)=(0,0) \):
\( Y^4+Z^4+YZ^4 \)
El monomio de menor grado es \( Y^4+Z^4 \), y por tanto es un punto singular de multiplicidad \( 4 \). Para analizar sus tangentes lo descomponemos en monomios de grado \( 1 \), resolviendo \( Y^4+Z^4=0 \). Quedaría:
\( Y^4+Z^4=(Y+r_1Z)(y+r_2Z)(y+r_3Z)(y+r_4Z) \)
donde \( r_1,r_2,r_3,r_4 \) son las cuatro raíces cuartas de \( -1 \):
\( r_k=e^{i\pi/4+(k-1)\pi/2} \)
de manera que las cuatro tangentes son:
\( Y+r_1Z=0 \)
\( Y+r_2Z=0 \)
\( Y+r_3Z=0 \)
\( Y+r_4Z=0 \)
Saludos.
