Hola
Sea \( \varphi:A^1 \to A^2 \) dada por \( \varphi(t)=(t^3−t+1,t^3+2t+1) \) y sea \( C = \varphi(A^1) \). Prueba que \( C \) es algebraico (calcula su ecuación). Calcula una parametrización de \( C \). ¿Qué puedes deducir sobre el anillo de coordenadas \( \mathbb{C}[C] \)? ¿Es \( C \) irreducible?
Mensaje corregido desde la administración.
Bienvenida al foro.
Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Tienes:
\( x=t^3−t+1 \)
\( y=t^3+2t+1 \)
Restando ves que \( t=(y-x)/3 \). Sustituyendo en la primera ecuación:
\( x=((y-x)/3)^3-(y-x)/3+1 \)
Desarrollando y simplificando tendrás la ecuación polinómica \( p(x,y)=0 \) que define la curva y por tanto es algebraica.
La ecuación paramétrica te la dan.
El polinomio que la define es irreducible, ya que se obtiene mediante un cambio de variable lineal, del polinomio \( x=t^3-t+1 \) que es irreducible por ser de grado \( 1 \) en \( x \).
Por tanto el anillo de coordenadas \( \dfrac{{\Bbb C}[x,y]}{<p(x)>} \) es un dominio.
Saludos.
