Buenas!
Estoy investigando mapas armónicos y tenía la siguiente pregunta. Dado un mapa $$u:B(0,1)\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ tal que restricto al borde coincide con el normal saliente $$n(x)=\frac{x}{|x|}$$. Me interesa probar que este mapa tiene energía de Dirichlet infinita, es decir, $$\int_{B(0,1)}||D\,u||^2\,dx=+\infty$$, donde $$Du$$ denota el diferencial de $$u$$.
Me interesa saber bajo que hipótesis esto vale y alguna idea de la demostración, según lo que estuve viendo, basta $$u\in (H^1(B(0,1))^2$$, donde $$H^1(B(0,1))$$ denota el espacio de Sobolev.
Muchas gracias de antemano!
Saludos.
