[hikmath]

Hola. Estoy tratando de verificar (o refutar) si el operador Laplaciano es acotado sobre el espacio de Sobolev. He leído que sí, pero no lo entiendo.

Sea \( L^2=L^2(\mathbb{R}^n) \). Sea el operador \( -\Delta:D(-\Delta)\subset L^2\to L^2 \) dado por \( -\Delta u=\mathcal{F}^{-1}(|\xi|^2\widehat{u}(\xi)) \) donde el dominio es \( D(-\Delta)=H^{2,2}=\left\{u\in L^2: \mathcal{F}^{-1}((1+|\xi|^2)\widehat{u}(\xi))\in L^2\right\} \)



Solo logro ver que\( \left\|\Delta u\right\|_{L^2}\leq C \left\|u\right\|_{H^{2,2}}:=\left\|\mathcal{F}^{-1}((1+|\xi|^2)\widehat{u}(\xi))\right\|_{L^2} \) (acá sería acotado con la norma del espacoi de Sobolev)


pero no que \( \left\|\Delta u\right\|_{L^2}\leq C\left\|u\right\|_{L^2} \) (acá sería acotado sobre el espacio de sobolev con la norma de \( L^2 \))

Gracias.

[lindeloff]

Hola, lo que puedes hacer para "sacar" el símbolo laplaciano es utilizar que sobre el espacio de Sobolev la transformada de Fourier preserva la norma
en ese caso sea \( u\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n) \) en el espacio de sobolev

\( \left\|\Delta u\right\|_{L^2}=\left\|\widehat{\Delta u}\right\|_{L^2}=\left\|  \displaystyle\sum_{i=1}^{n}  x_{i}^{2}   \widehat{u}\right\|_{L^2} \)

ahora si \( u\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n) \) entonces también \( \widehat{u}\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n) \)

pero no necesariamente \( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}  x_{i}^{2}   \widehat{u}\in {L}^2(\mathbb{R}^n) \)

por ejemplo, con \( n=1 \) si

\(  \left(x^2 \widehat{u}\right)^{1/2}=\left(\dfrac{x^3}{1+x^4}\right)^{1/2} \)

cuando apliques la norma en \( L^2 \) queda una integral que divergue, y usando las igualdades de arriba te queda que no está acotado

(espero no haberme equivocado....)

[hikmath]

pero no necesariamente \( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}  x_{i}^{2}   \widehat{u}\in {L}^2(\mathbb{R}^n) \)

pero no que si una función es de Schwartz, cualquier producto bajo un polinomio sigue siendo del mismo tipo?

[lindeloff]

Si una función está en el espacio de Schwartz multiplicada por cualquier polinomio sigue estando en el espacio de Schwartz

Por la definición de espacio de Schwartz son aquellas funciones por las cuales ella y sus derivadas decaen más rápido que cualquier polinomio.