Hola a todos. Sabemos que una relación de equivalencia es aquella relación de \( A\times A \) que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Ahora bien, en ningún libro consigo que me expliquen porque es de \( A\times A \) y no por ejemplo de \( A\times B \) donde \( A\subset B \) y el conjunto imagen también esté incluido en \( A \).
Es así por definición, no tiene más misterio que ése. Es como si preguntaras que por qué llamamos al número \( 2 \) como "dos" en vez de como "chumpiwompi".
Por aclarar un poco más (aunque quizá sea peor el remedio que la enfermedad): el concepto de
relación tiene su origen en la lógica. Por decirlo de alguna manera, en lógica una relación de aridad \( n \) es un objeto que a toda lista de constantes de longitud \( n \) le asigna un valor de verdadero o falso, por ejemplo una relación \( R \) de aridad cuatro a la lista \( a,b,c,d \) de constantes le asigna un valor, este valor se representa como \( R(a,b,c,d) \). Una relación binaria es una relación de aridad dos, cuyos valores se suelen representar como \( xRy \) en vez de \( R(x,y) \).
Cuando la colección de constantes constituye un conjunto, de alguna teoría de conjuntos como ZF, llamemos a tal conjunto \( A \), la información de una relación \( R \) se puede representar como pertenencia, o no pertenencia, a un determinado subconjunto de \( A\times A \), es decir, si \( xRy \) es verdadero eso se codifica como que \( (x,y)\in R \), y si es falso como que \( (x,y)\notin R \). En este contexto no tiene mucha utilidad el considerar relaciones como subconjuntos de \( A\times B \), porque en definitiva una relación siempre se podrá ver como una relación en \( (A\cup B)\times (A\cup B) \). De ahí surge la noción de relación en un conjunto.
Pero, repito, en el fondo todo es cuestión de que por definición se ha hecho así, por costumbre e historia del desarrollo de las matemáticas, de la misma forma que por costumbre al número \( 2 \) se le denomina "dos" en castellano y no "chumpiwompi".
