Pero ojo, para un código cíclico debe verificarse que es un subespacio vectorial de dimensión k, y además que si \( x\in{}C \), y \( x=(x_0,...,x_{n-1}) \) entonces \( (x_{n-1},x_0,x_1,...,x_{n-2})\in{}C \). Esa es la condición de que sea cíclico. En el ejemplo que has puesto tu código sería todo \( F^4_2 \) porque tendrías que todos los vectores canónicos pertenecen a tu código y además como el código es lineal, las combinaciones lineales de ellos también serían parte de código.
La demostración del ejercicio es la siguiente. Suponemos que tenemos un código en las condiciones del enunciado y por reducción al absurdo supongamos que existe una ráfaga de peso l. Entonces tal ráfaga podríamos escribirla como \( (1,...,1,0,..,0) \) con \( l \) unos y \( n-l \) ceros. Por hipótesis el código es cíclico y por tanto \( (0,1,...(\,l \,veces),1,0,...,0)\in{}C \) y así sucesivamente hasta el vector \( (0,...,0,1,...,1) \). Ahora bien, todos estos vectores pertenecen al código y además son linealmente independientes luego generan un subespacio vectorial contenido en el código de dimensión el número de vectores, esto es \( n-l+1 \). Como por hipótesis \( l\leq{}n-k\Longrightarrow{}k\geq{}n-l+1\geq{}k+1 \), y ahí está la contradicción.
