Buenas,
Tengo este problema: Sea $$f \in k[X_1] $$ de grado $$\geq 2$$ y $$\bar{C}$$ el completado en $$\mathbb{P}^2$$ de la curva afín $$C=V(X_2-f(X_1)) \subset \mathbb{A}^2$$. Describir una parametrización de la curva dual de $$\bar{C}$$

Y tengo el mismo problema pero con \( C=V(f) \).
No sé como hacerlo, si me podríais ayudar en alguno de los dos. No se si puedo usar un teorema que obtiene la curva dual a partir del discriminante...

Gracias de antemano

buenas, tengo los siguientes datos $$F(X,Y,Z)=X^2Z-Y^3$$ entonces la curva C=V(F) $$\subset \mathbb{P}^2$$ esta parametrizada por $$C=(u^3:u^2v:v^3)$$ y su curva dual D parametrizada por $$D=(2v^3:-3uv^2:u^3)$$ y me piden los puntos singulares y de inflexión de ambas curvas.
Tengo algunas dudas:
1) El número de puntos singulares de C es menor o igual que $$\frac{1}{2}(d-1)(d-2)=1$$ y me sale que el punto (1:0:0) puede ser singular ya que las parciales de F se anulan en ese punto pero en clase em han dicho que es el (0:0:1)
2) yo diria que el cono tangente es $$V(X_1^2)$$
3) para los puntos de inflexión hago $$V(F)\cap H_F$$ y me salen dos puntos, uno que es el singular que ya tengo y el otro el de inflexión, ¿es eso correcto?
gracias

gracias, pero no veo el método general, si me dan por ejemplo los puntos (0:0:1), (1:0:1), (0:1:1) y (1:1:1)?

Buenas,
tengo este polinomio \(F=X_0^5+X_1^4X_0+X_1^3X_2^2-X_1X_2^4+X_0X_2^4\) y no consigo ver que sea irreducible por Einstein.
Me podríais ayudar, por favor

Buenas, el de series de Puiseux:
\(k\lbrace \lbrace t \rbrace \rbrace=\cup_{N=1}^{\infty}{k((t^{1/N}))}\) donde los elementos son series de potencias
\(c(t)=c_1t^{a_1}+c_2t^{a_2}+c_3t^{a_3}+...\)

Buenas, tengo este problema
Para cualquier \(d \in \mathbb{Z}_{\geq 2}\), encontrar un número \(f(d)\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), tal que: si \(C \in \mathbb{P}^2\) es una curva productiva de grado \(d\), y |Flex(\(C\))|<\(\infty\), entonces |Flex(\(C\))|\(\leq\)\(f(d)\)

En las tres últimas líneas del enunciado, antes de que empiecen los apartados, ¿no?

Buenas, tengo una cuestión de geometría algebraica que no se resolver:
Sea $$f, g \in k\left[X_1, \ldots, X_a, Y_1, \ldots, Y_b, Z\right]$$,
$$
f=\prod_{i=1}^a\left(Z-X_i\right), \quad g=\prod_{j=1}^b\left(Z-Y_j\right)
$$
y
$$r=\operatorname{res}_Z(f, g) \in k\left[X_1, \ldots, X_a, Y_1, \ldots, Y_b\right]$$
Si \(x=\left(x_1, \ldots, x_a\right) \in k^a\) y \(\left(y_1, \ldots, y_b\right) \in k^b, \operatorname{definimos} f_x, g_y \in k[Z]\),
$$
f_x(Z)=f\left(x_1, \ldots, x_a, Z\right), \quad g_y(Z)=g\left(y_1, \ldots, y_b, Z\right) .
$$
Me piden demonstrar que \(r(x, y)=\operatorname{res}\left(f_x, f_y\right)\).

Gracias de antemano

Hola, estoy escribiendo las 27 rectas en la cúbica de Fermat .
El polinomio que la define es \(F(x,y,z,t)=x^3+y^3+z^3+t^3\)
cuyo gradiente \[ \nabla F=(3x^2,3y^2,3z^2,3t^2)\] Como podemos ver, no hay ningún punto en S en el \(\nabla F\) se anule, por lo que la cúbica de Fermat es una superficie cúbica lisa. Ahora vamos a encontrar las 27 rectas:

Sabemos que una recta L en el espacio proyectivo \(\mathbb P^3\) está dada por dos hiperplanos, que son hipersuperficies de grado 1.

 Elegimos una recta L en \(\mathbb P^3\), salvo cambio de coordenadas, estos dos hiperplanos vienen dados por \[x=az+bt, y=cz+dt\]
Por tanto, la recta L está contenida en la cúbica de Fermat si y sólo si \[(az+bt)^3+(cz+dt)^3+z^3+t^3=0\] como polinomio en \(\mathbb C[z,t]\).
Desarrollando esta expresión,

\[a^3z^3+b^3t^3+3azb^2t^2+3a^2z^2bt\]
\[+ c^3z^3+d^3t^3+3czd^2t^2+3c^2z^2dt\]
\[+z^3+t^3=0\]

Deben satisfacerse las siguientes cuatro ecuaciones:

 \(a^3+c^3=-1\)
 \(b^3+d^3=-1\)
 \(ab^2=-cd^2\)
 \(a^2b=-c^2d\)

Si suponemos que los a,b,c,d son todos distintos de cero, entonces haciendo \((3)^2/(4)\) obtenemos \(b^3=-d^3\) lo que contradice (2). Por tanto, al menos uno de estos a,b,c,d debe ser no nulo. \\

Primero asumimos que a=0 y obtenemos \(b^3=c^3=-1\) y a=d=0. El par (b,c) debe ser de la forma (b,c)=(\(-w^j,-w^k\)) para 0\(\leq j\), k\(\leq 2\) donde w es la raíz cúbica primitiva de la unidad, es decir, w=\(e^{\frac{2\pi i}{3}}\). De aquí me salen 18 rectas

Y ahora tendría que cambiar la recta que he cogido y expresara como \[z=ax+by, t=cx+dy\] y me salen otras 18 y tengo que ver que 9 esta repetidas no?

Gracias

Buenas, estoy probando el siguiente resultado :

Si \(P \subset \mathbb{P}^{3}\) es un plano, entonces solo una de estas afirmaciones se cumple:

    - \(S \cap P\) curva cúbica no degenerada, que es una curva cúbica definida por una forma cúbica irreducible
    - \(S \cap P=l \cup \)c, donde \( l \) es una recta y \( c \) es una cónica no singular (no degenerada) en \( P \).
    - \( \cap P=l \cup m \cup n\), donde \( l, m, n \) son 3 rectas distintas.
Al probar el último caso, tengo lo siguiente

El caso (III) corresponde con 3)\(S \cap P=l \cup m \cup n\), donde \( l, m, n \) son 3 rectas distintas. Pero a priori no sabemos que los tres términos lineales deben ser distintos, es decir, no sabemos que \( S \cap \Pi\) será la unión de 3 rectas DISTINTAS siempre que sea una unión de rectas. Por lo tanto, basta con demostrar que siempre y cuando h factorice en tres formas lineales, estas formas lineales deben ser todas distintas entre sí.

Sea \( l \) una recta cualquiera en \( S \cap P \), (basta con demostrar que la forma lineal que define a \( l \) en \( K[x,y,z] \), solo aparece como factor en la cúbica \( h \) una vez). Ahora cambiamos las coordenadas de forma que \( l = V(z,t) \), es decir, que la forma lineal que define a \( l \) en \( P \) es simplemente \( z \) (ya que habíamos impuesto \( t=0 \) para el plano). A continuación, supongamos que podemos escribir \( h(x, y, z) = z^2\cdot a(x, y, z) \) para alguna forma lineal \( a \) y llegaremos a una contradicción.

 Entonces haciendo el proceso inverso por el que obtuvimos \( h \) a partir de \( g \), podemos expresar \( g \) como \( g(x, y, z, t)=z^{2} \cdot b(x, y, z, t)+t \cdot c(x, y, z, t) \) para alguna forma lineal \( b \) y para alguna forma cuadrática \( c \).

Calculando las derivadas parciales de \( g \), vemos que \( g_{x}=z^{2} b_{x}+t c_{x} \), \( g_{y}=z^{2} b_{y}+t c_{y} \), \( g_{z}=2 z b+z^{2} b_{z}+t c_{z} \), y \( g_{t}=z^{2} b_{t}+c+t c_{t} \). Por tanto, en un punto cualquiera \( (x: y: z: t) \) tal que \( z=t=0  \)y en el que se verifique \( c(x, y, z, t)=0 \) (ya que la derivada parcial \( g_{t_{(0,0,0,0)}}=c \)) tendremos que \( S=V(g) \) es singular.

Pero existe al menos un punto de este tipo \( (x: y: z: t) \) en \( S \) : exigir que \( z=t=0 \) es simplemente restringir la recta  \( l \) al plano \( P \), y cuando sustituimos \( z=t=0  \) en \( c  \)obtenemos un polinomio \( c_{1} \) que o bien (A) es idénticamente cero o \( (\mathrm{B}) \) es una cuádrica homogénea en las dos variables \( x, y \). En el primer caso, cualquier punto \( (x: y) \) es una raíz de \( c_{1} \). En el segundo caso, por la proposición 12.1 , sabemos que \( c_{1} \) tienen al menos una raíz \( (x: y) \). Esto quiere decir que en todos los casos \( V \left(c_{1}\right) \neq \emptyset \), es decir, \( c \) tiene alguna raíz \( (x: y: 0: 0) \) en \( l \). Por tanto  \( S \) tiene un punto singular, y como por hipótesis \( S \) era lisa llegamos a una contradicción.

No entiendo bien el hilo que sigue, me podrían confirmar si es correcto por favor
Gracias