[Luis Fuentes]

Hola

[texx] 7^3+7^4=14^3; 14^3-7^3=7^4; (a+c)^3-a^3 [/texx].

[texx] 3^3+6^3=3^5; a^3+(a+c)^3 [/texx].

Lo curioso de esta ecuación, [texx] a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3 [/texx], es por la rigidez de las potencias.

Es decir, [texx] 3^3+6^3=d^3+e^3 [/texx]. Si intento obtener de [texx] 3^3+6^3 [/texx] dos potencias con distintas bases a las dos inicales pero con los mismos exponentes, tal que [texx] d^3+e^3 [/texx], es muy difícil (creo que es imposible), por que;

 Cosas como "es muy difícil", "creo que es imposible". No son argumentos.

 Yo estoy seguro por ejemplo que no existen números naturales verificando \( x^5+y^5=z^5 \). Es el Teorema de Fermat, claro; y alguien lo demostró rigurosamente y por eso es seguro que es cierto. Pero si no estuviese demostrado sería simplemente una conjetura.

[texx] 6^3=(2*3)^3=2^3*3^3=(1+7)*3^3=3^3+7*3^3[/texx] y ahora le sumo  [texx] 3^3 [/texx], por lo tanto, [texx] 3^3+7*3^3+3^3=2*3^3+7*3^3[/texx] no se ajusta a los requisitos. Por esa poca flexibilidad de las potencias, se deduce
(si [texx] a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 [/texx] con la restricción de [texx]  (2a+c)(a(a+c))+2ac^2=d^3 [/texx]) que [texx] a^3=c^3 [/texx].

Porque si se manipulan las potencias no se ajustan a los requisitos. Aunque, creo que, si que hay números que cumplen con [texx] a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 [/texx] .

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html.

 En tu caso además y como se muestra en el enlace que indicas hay sumas iguales de pares de cubos diferentes, por tanto de:

\( a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 \)

 NO se deduce necesariamente que \( a^3=c^3 \) o que \( (a+c)^3=c^3 \).

 Frases como "parece muy difícil que no sea así", "no encuentro un ejemplo donde no se cumpla", "es que son unas expresiones muy rígidas" no son argumentos, no son justificaciones válidas; son vaguedades.

Aunque no se ajustan a  [texx] a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 [/texx], en todos ellos se iguala una suma de tres potencias a una potencia, debiendo ser la igualdad suma de dos potencias a ambos lados de la igualdad , o resta de dos potencias a ambos lados de la igualdad.

 Adicionalmente sigo sin saber a que viene considerar esta igualdad:

\(  a^3+(a+c)^3=d^3+c^3  \)

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3  \).

\(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3  \). De esta ecuación concreta, podemos afirmar que cumple con  \(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3  \) habiendo dos potencias en la primera ecuación, en la siguiente solo hay una potencia de grado 3, si ambas son iguales la expresión \(  (2a+c)(a(a+c))+2ac^2 \), es una potencia, cierto??

\(  a^3+(a+c)^3 \), por ejemplo, \(  3^3+6^3 \) es igual a \(  3^5  \), el \(  3^5  \), mediante sumas de potencias, solo lo podemos obtener si \(  3^3+6^3 \).  Cierto?

Consecuentemente, \(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)((a+c)*a+c^2)  \), para cada uno de los valores de  \(  (2a+c)((a+c)*a+c^2)  \), solo hay dos valores para a y c (uno para cada uno de ellos), que lo cumplen. Es decir, si \(  3^3+6^3=3^5 \), entonces, \(  a=3, a+c=6, c=3 \), solo estos valores, con potencias de 3, nos brindan el resultado de \(  3^5 \).

Cierto?

\(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=3^5 \). La pregunta es, ¿existe algún número c distinto que a que cumpla con,  \(  3^3+6^3 =(2a+c)(a(a+c))+2ac^2 +c^3 = 3^5 \)?


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3  \). De esta ecuación concreta, podemos afirmar que cumple con  \(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3  \) habiendo dos potencias en la primera ecuación, en la siguiente solo hay una potencia de grado 3, si ambas son iguales la expresión \(  (2a+c)(a(a+c))+2ac^2 \), es una potencia, cierto??

FALSO. Por ejemplo:

\( 3^3+5^3=88+4^3 \)

y \( 88 \) no es una potencia.

\(  a^3+(a+c)^3 \), por ejemplo, \(  3^3+6^3 \) es igual a \(  3^5  \), el \(  3^5  \), mediante sumas de potencias, solo lo podemos obtener si \(  3^3+6^3 \).  Cierto?

Pues no lo sé. No es evidente. No está claro que no puedan existir parejas distintas de números cuyos cubos sumen la misma quinta potencia.

Consecuentemente, \(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)((a+c)*a+c^2)  \), para cada uno de los valores de  \(  (2a+c)((a+c)*a+c^2)  \), solo hay dos valores para a y c (uno para cada uno de ellos), que lo cumplen. Es decir, si \(  3^3+6^3=3^5 \), entonces, \(  a=3, a+c=6, c=3 \), solo estos valores, con potencias de 3, nos brindan el resultado de \(  3^5 \).

Cierto?

FALSO (o de manera más precisa afirmación gratuita e injustificada). Por que estás concluyendo de una afirmación FALSA y de otra que no tienes demostrada.

\(  a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=3^5 \). La pregunta es, ¿existe algún número c distinto que a que cumpla con,  \(  3^3+6^3 =(2a+c)(a(a+c))+2ac^2 +c^3 = 3^5 \)?

La pregunta es confusa. Si estás preguntando si pueden existir dos pares de cubos distintos que sumen la misma quinta potencia, la respuesta es no lo se. No es evidente.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] b^2+(b-1)b^2(b+1) = b^4 [/texx];

[texx] x - b^2=(b-1)b^2(b+1)   [/texx] v [texx] x-(b-1)b^2(b+1)=b^2 [/texx].

En los dos casos, es trivial que x, tiene un factor común con b.

Si suponemos que:

 [texx] x=(a+c)^3-a^3=(c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) [/texx]  v [texx] x=a^3+(a+c)^3=(2a+c)(a(a+c)+c^2) [/texx].

Consecuentemente, [texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4 [/texx]  v [texx] (2a+c)(a(a+c)+c^2)=b^4 [/texx].


Si [texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4 [/texx] entonces, [texx] c = b^3 [/texx] v [texx] c = b^2 [/texx] v [texx] c = b [/texx]. Cierto??


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Si [texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4 [/texx] entonces, [texx] c = b^3 [/texx] v [texx] c = b^2 [/texx] v [texx] c = b [/texx]. Cierto??

FALSO. Es que no sé en que te basas para afirmar eso, sinceramente. Por ejemplo si \( b=pq \), con \( p \)q coprimos puede ocurrir que \( c=p^4 \).

Y en cualquier caso... ¡tienes qué justificar tus afirmaciones y no hacerlas "alegremente"!.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4 [/texx]  v [texx] (2a+c)(a(a+c)+c^2)=b^4 [/texx].

Luis indica que, [texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4=p^4q^4 [/texx] siendo  [texx] c=p^4[/texx], en consecuencia, [texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) =q^4 ; (-a(a+c)+(2a+c)^2)-q^2 =(q-1)(q^2)(q+1) [/texx]. Pues si esta ecuación la escribimos tal que:

[texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) - (q-1)q^2(q+1) (even, par) [/texx] v
[texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) - q^2 (even, par) [/texx].

En los dos casos, Wolfram indica que la paridad es par (¿Dicha interpretación es correcta?). Siendo q par.  Considero que q es par porque [texx] (q-1)q^2(q+1) [/texx] es un número par (para cualquier número natural que adopte q), [texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) [/texx] número par (porque par + par = par) y por extensión  [texx] q^2  [/texx] es par.

Aunque si todos son números pares:

[texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) = -a^2-ac+4a^2+4ac+c^2 [/texx] (*).

Debemos obtener de (*) un número par para que se cumpla con lo indicado en Wolfram.(**):

a par, c par, cumpliría con lo indicado, pero confirma conjetura porque [texx] x=(a+c)^3-a^3 [/texx].

a impar, c par, [texx] -a^2-ac+4a^2+4ac+c^2 [/texx], el número que resulta es impar, no cumple con wólfram porque [texx]-a^2-ac+4a^2+4ac+c^2 - (q-1)q^2(q+1) = impar - par ≠par [/texx].

a impar, c impar no cumple con (**).

a par, c impar no cumple con (**).


Si a y c no son pares, contradicción, cierto??


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¡Vaya galimatías!. Antes de nada: despídete, jugando con la paridad no vas a llegar a probar la conjetura.

 Como no entiendo tus ""razonamientos"". Voy al grano.

[texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4 [/texx]  v [texx] (2a+c)(a(a+c)+c^2)=b^4 [/texx].

Luis indica que, [texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4=p^4q^4 [/texx] siendo  [texx] c=p^4[/texx], en consecuencia, [texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) =q^4 ; (-a(a+c)+(2a+c)^2)-q^2 =(q-1)(q^2)(q+1) [/texx]. Pues si esta ecuación la escribimos tal que:

[texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) - (q-1)q^2(q+1) (even, par) [/texx] v
[texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) - q^2 (even, par) [/texx].

No hay ningún problema en que pueda darse \( a \) par y \( c \) impar o viceversa.

1) Si \( a \) es par y \( c \) es impar entonces \( (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) \) es impar por ser producto de impares. Y en ese caso \( b \) es impar y en la descomposición \( b=pq \) ambos son impares. Compatible con que \( c=p^4 \) impar.

1) Si \( a \) es impar y \( c \) es par entonces \( (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) \) es par por ser producto de un par con impar. Y en ese caso \( b \) es par y en la descomposición \( b=pq \), \( p \) e par y \( q \) es impar. Compatible con que \( c=p^4 \) impar.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Sea la siguiente identidad [texx] a^3=(a-1)a(a+1)+a [/texx]. En consecuencia toda potencia de grado 3, entre sus productos [texx] (a-1)a(a+1) [/texx] estaran [texx] 2·3·x [/texx]. Es decir (introduzco una tabla para intentar explicar la idea):

[texx] (a-1)(a)(a+1) = 6·x;(a)(a+1)/2 [/texx];
[texx] 1·2·3 = 6·1; 3 [/texx].
[texx] 2·3·4 = 6·4; 6[/texx].
[texx] 3·4·5 = 6·10;10[/texx].
[texx] 4·5·6 = 6·20; 15[/texx].
[texx] 5·6·7 = 6·5·7; 21[/texx].
[texx] 6·7·8 = 6·56; 28[/texx].
[texx] 7·8·9 = 6·7·12; 36[/texx].

Esta progresión sigue hasta el infinito. Consideremos que [texx] a^3+y=c^3 [/texx], con la progresión indicada, intentemos obtener y. Lancemos un par de ejemplos:

[texx] 2^3+y=5^3 [/texx];
[texx] 1·2·3+2+y=4·5·6+5 [/texx];
[texx] 1·2·3+2+y= 6·1+2+y=6(1+(3+6+10)) + 5 [/texx].

La suma de [texx] (3+6+10) [/texx] no es más que la suma de la columna [texx] (a)(a+1)/2 [/texx]. Desde [texx] 1·2·3 [/texx] a [texx] 3·4·5 [/texx] que es la inmediatamente a [texx] 4·5·6 [/texx].

Pues de esa suma, [texx] 6((3+6+10)) [/texx] no obtendremos ningún número tal que [texx] (a-1)(a·)(a+1) [/texx] porque para obtenerlo, debemos introducir el 1, tal que, [texx] 6(1+(3+6+10)) [/texx].
Es decir [texx] 2^3+y=5^3 [/texx]; [texx] 6·1+2+y=6(1+(3+6+10)) + 5; y= 6(3+6+10)+5-2; y=6·19+3 [/texx].

[texx] 5^3+y=13^3 [/texx]. En la imagen esta representado la suma (lo que esta griseado) para obtener desde una potencia inicial, [texx] 5^3 [/texx], la potencia obtenida[texx] 13^3 [/texx]. ¿Se entiende?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea la siguiente identidad [texx] a^3=(a-1)a(a+1)+a [/texx]. En consecuencia toda potencia de grado 3, entre sus productos [texx] (a-1)a(a+1) [/texx] estaran [texx] 2·3·x [/texx]. Es decir (introduzco una tabla para intentar explicar la idea):

[texx] (a-1)(a)(a+1) = 6·x;(a)(a+1)/2 [/texx];
[texx] 1·2·3 = 6·1; 3 [/texx].
[texx] 2·3·4 = 6·4; 6[/texx].
[texx] 3·4·5 = 6·10;10[/texx].
[texx] 4·5·6 = 6·20; 15[/texx].
[texx] 5·6·7 = 6·5·7; 21[/texx].
[texx] 6·7·8 = 6·56; 28[/texx].
[texx] 7·8·9 = 6·7·12; 36[/texx].

Esta progresión sigue hasta el infinito. Consideremos que [texx] a^3+y=c^3 [/texx], con la progresión indicada, intentemos obtener y. Lancemos un par de ejemplos:

[texx] 2^3+y=5^3 [/texx];
[texx] 1·2·3+2+y=4·5·6+5 [/texx];
[texx] 1·2·3+2+y= 6·1+2+y=6(1+(3+6+10)) + 5 [/texx].

La suma de [texx] (3+6+10) [/texx] no es más que la suma de la columna [texx] (a)(a+1)/2 [/texx]. Desde [texx] 1·2·3 [/texx] a [texx] 3·4·5 [/texx] que es la inmediatamente a [texx] 4·5·6 [/texx].

Pues de esa suma, [texx] 6((3+6+10)) [/texx] no obtendremos ningún número tal que [texx] (a-1)(a·)(a+1) [/texx] porque para obtenerlo, debemos introducir el 1, tal que, [texx] 6(1+(3+6+10)) [/texx].
Es decir [texx] 2^3+y=5^3 [/texx]; [texx] 6·1+2+y=6(1+(3+6+10)) + 5; y= 6(3+6+10)+5-2; y=6·19+3 [/texx].

[texx] 5^3+y=13^3 [/texx]. En la imagen esta representado la suma (lo que esta griseado) para obtener desde una potencia inicial, [texx] 5^3 [/texx], la potencia obtenida[texx] 13^3 [/texx]. ¿Se entiende?

No veo nada útil ahí. Al final tienes que dar un argumento general que te permita afirmar que en la ecuación \( a^3+y=c^3 \), \( y \) no puede ser el cubo de un natural.

Evidentemente para ejemplos concretos es fácil ver que no es así.

Pero no veo que de nada de lo que dices se pueda sacar un argumento genérico. Si tu piensas que si se puede, concrétalo.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] (a-1)a(a+1)+3*(a(a+1)+(a+1)(a+2))=(a+1)(a+2)(a+3) [/texx];

[texx] (a-1)a(a+1)+3*(a(a+1)+(a+1)(a+2)+(a+2)(a+3))=(a+2)(a+3)(a+4) [/texx];

[texx] (a-1)a(a+1)+3*(a(a+1)+(a+1)(a+2)+...+(a+n-1)(a+n))=(a+n-1)(a+n)(a+n+1) [/texx];

Suponiendo que [texx] (a-1)a(a+1)+a+(n-1)n(n+1)+n= (a+n-1)(a+n)(a+n+1)+(a+n) [/texx];

Aunque si es asi, se llega a, [texx] a^3+n^3=(a+n)^3 [/texx] que claramente es falso. Entonces??


Antentamente.