[feriva]

Saludos, realmente no veo como determinar el valor de x en este triángulo, cuando lo trato de buscar por la existencia del triángulo, entonce -6<x<6, o sea, corresponde no a un valor sino a valores que van del 1 al 5, en todo caso la pregunta sería los valores de x

Hola. Usando la igualdad de las ternas pitagóricas (¿conoces?) y haciendo varias sustituciones (teniendo en cuenta los dos triángulos rectángulos que se forman y tal) he conseguido un sistema determinado, soluble. Se lo he dado al Wolfram y no salen soluciones enteras; aunque como han sido bastantes "despejes" y cosas, lo más probable es que me haya equivocado. A lo mejor por la tarde me pongo otra vez.

Ahí hay dos ecuaciones; una para cada triángulo rectángulo.

En el de la izquierda

\( x^{2}=k^{2}+h^{2}
  \)

En el de la derecha

\( 25x^{2}=(24-k)^{2}+h^{2}
  \)

Y sustituyendo le doy esto al Wolfram

\( 25(k^{2}+h^{2})=(24-k)^{2}+h^{2}
  \)

Las únicas soluciones para x son éstas:

\( x=\pm\sqrt{26}
  \)


*Salvo que se haga h=0; en cuyo caso tienes "x" igual a más menos 4,6.

Saludos.

[martiniano]

Hola feriva.

Y sustituyendo le doy esto al Wolfram

\( 25(k^{2}+h^{2})=(24-k)^{2}+h^{2}
  \)

No lo entiendo. Ésta es una ecuación con dos incógnitas. Discúlpame porque no manejo el programa, pero supongo que le habrás dicho que busque las soluciones enteras, o algo así. Pero lo que tiene que ser entero es \( x \).

Es más práctico que te fijes en lo de la existencia del triángulo como ya han dicho, o desigualdad triangular. Se tiene que cumplir sobre los tres lados, lo que sólo es interesante aplicarla sobre el lado de \( 24 \) y sobre el de \( 5x \). Las condiciones son:

\( x+5x>24 \)   y   \( x+24>5x \)

¿Entiendes? Si una de ellas no de cumple es imposible construir el triángulo. Si no entiendes esto coméntalo 

Las inecuaciones se simplifican en \( x>4 \) y \( x<6 \). De ahí la solución \( x=5 \).

Saludos.

[feriva]

Hola feriva.

Y sustituyendo le doy esto al Wolfram

\( 25(k^{2}+h^{2})=(24-k)^{2}+h^{2}
  \)

No lo entiendo.

Es que no le he dado sólo una, perdón que no lo había dicho, le he dado la de "x" también; si no, no sabe la dependencia entre las variables porque en ésa no aparece; mira el enlace, aquí te viene todo, las reales, las que son enteras entre las reales...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=25(k%5E2%2Bh%5E2)%3D(24-k)%5E2%2Bh%5E2,++x%5E2%3Dk%5E2%2Bh%5E2

Saludos.

[hméndez]

Escalando convenientemente: 



\( 5-1<\displaystyle\frac{24}{x}<5+1 \)

\( 4<\displaystyle\frac{24}{x}<6 \)

\( \displaystyle\frac{1}{6}<\displaystyle\frac{1}{x}<\displaystyle\frac{1}{4} \)

\( 6>x>4 \)

\( 4<x<6 \)

\( x=5 \)

Saludos

[feriva]

Escalando convenientemente: 

Spoiler

\( 5-1<\displaystyle\frac{24}{x}<5+1 \)

\( 4<\displaystyle\frac{24}{x}<6 \)

\( \displaystyle\frac{1}{6}<\displaystyle\frac{1}{x}<\displaystyle\frac{1}{4} \)

\( 6>x>4 \)

\( 4<x<6 \)

\( x=5 \)

[cerrar]

Ahí sí se cumple; pero veo una cosa:

Hacemos x=5; entonces:

\( {\color{blue}1=k^{2}+h^{2}}
  \)

En la de la derecha

\( 25=(\dfrac{24}{5}-k)^{2}+h^{2}
  \)

\( 25=\dfrac{24^{2}}{25}+{\color{blue}k^{2}+h^{2}}-\dfrac{48}{5}k
  \)

\( 25=\dfrac{24^{2}}{25}+{\color{blue}1}-\dfrac{48}{5}k
  \)

\( 24=\dfrac{24^{2}}{25}-\dfrac{48}{5}k
  \)

\( 1=\dfrac{24}{25}-\dfrac{2}{5}k
  \)

Existe

\( \dfrac{24}{10}-\dfrac{5}{2}=k=-\dfrac{1}{10}
  \)

y existe

\( h=\dfrac{3(11)^{\frac{1}{2}}}{10}
  \).

No obstante, si hiciéramos x=6, por ejemplo, no dejarían de existir valores reales para “k” y “h”. Entiendo que la desigualdad triangular no entra en juego decisivamente.

estoy sospechando seriamente que la pregunta está mal planteada y mas bien sería calcular el mínimo valor entero que puede tomar x

Pues si sospechabas... era fácil, no tenías por qué haberte quedado en la sospecha; dando el valor x= 5 tienes es un sistema de ecuaciones soluble para ver si funciona o no.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Hacemos x=5; entonces:

\( {\color{blue}1=k^{2}+h^{2}}
  \)

Querías decir \( {\color{blue}25=k^{2}+h^{2}}   \) , ¿verdad?

No obstante, si hiciéramos x=6, por ejemplo, no dejarían de existir valores reales para “k” y “h”. Entiendo que la desigualdad triangular no entra en juego decisivamente.

Diría que si substituyes \( x=6\;\Rightarrow{\;}k^2+h^2=36 \) aquí:

\( 25(k^{2}+h^{2})=(24-k)^{2}+h^{2}
  \)

Te saldrá \( k=-6\,\Rightarrow{\,}h=\sqrt[ ]{x^2-k^2}=0 \), que no tiene demasiado sentido en el contexto del problema. Y si substituyes por un valor mayor, \( h \) te quedará fuera de los reales.

Saludos.