[aureodd]

Hola el_manco,
si teníamos
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \)
lo podemos escribir como
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) (1)
para \( j>1 \) y \( j\in \mathbb{N} \)
luego \( q^3+r^3\equiv0\pmod3 \Rightarrow q+r\equiv0\pmod3 \)
Entonces \( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \equiv0\pmod{3^k} \) únicamente si \( k=2 \)
y podemos poner
\( q^3+r^3=3^2t=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) para algún \( t \)
Y esta igualdad no puede darse para \( j=2,4,5,... \)
Si es correcto, sólo quedaría probar que (1) no puede darse para \( j=3 \)?
Muchas gracias!!
Saludos
 

[Luis Fuentes]

Hola

 Dos problemas:

 1) Aquí tienes una errata:

si teníamos
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \)
lo podemos escribir como
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{j-1}pqr-3^{2j-1}p^3 \) (1)
para \( j>1 \) y \( j\in \mathbb{N} \)

Si \( \dfrac{m+1}{3}=j-1 \) entonces \( m=\color{red}3\color{black}j+2 \)

2) Y aquí error repetido:

luego \( q^3+r^3\equiv0\pmod3 \Rightarrow q+r\equiv0\pmod3 \)
Entonces \( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \equiv0\pmod{3^k} \) únicamente si \( k=2 \)

O se me escapa algo, o lo que deduce es que \( q+r\equiv 0 \) mod \( 3^k \) con \( k\equiv 2 \) mod \( 3 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
efectivamente hay una errata... pero volviendo a lo que teníamos:
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow  \)
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)
luego
\( q^3+r^3\equiv0\pmod{3^k} \) para algún \( k \)
y podemos escribir \( q^3+r^3 = 3^k.j \) para algún \( j \) no múltiplo de \( 3 \).
Nos queda (I) como
\( 3^k.j=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)

Si \(  k<\frac{m+1}{3}  \) entonces el lado izquierdo de la igualdad en (I) no es múltiplo  de 3 y el derecho si lo es. Luego esta situación no puede darse.
Si  \(  k>\frac{m+1}{3}  \) el lado izquierdo de la igualdad en (I) es múltiplo  de \( 3 \) y el derecho no lo es ya que \( p,q,r \) no son múltiplos de \( 3 \). Luego esta situación tampoco puede darse.

Buscamos entonces soluciones para \(  k=\frac{m+1}{3}  \).
Si 
\( q+r \equiv 0 \pmod 3 \)
y
\( q^3+r^3=(q+r)(q^2-qr+r^2) \)
\( (q^2-qr+r^2) \equiv 0 \pmod {3^s}  \) únicamente si \( s=1 \)
Luego
\( (q+r)=3^{k-1}t \) para algún \( t \)
Como también
[Corregido]
\( q^3+r^3=(q+r)^3-3qr \color{red}(q+r)\color{black}\Rightarrow q^3+r^3=(3^{k-1}t)^3-3qr(3^{k-1}t)  \)
Sustituyendo en (I)
\( (3^{k-1}t)^3-3qr(3^{k-1}t)=2\cdot 3^{k}pqr-3^{3k-1}p^3 \)
y dividiendo por \( 3^k \) nos queda
\( 3^{2k-3}t^3-qrt=2pqr-3^{2k-1}p^3 \Rightarrow  \) (II)
\( 3^{2k-3}t^3+3^{2k-1}p^3=2pqr+qrt=qr(2p+t)  \)
entonces \( 3^{2k-3}|(2p+t) \) luego
\( t=3^{2k-3}u-2p \) para algún \( u \)
Sutituyendo \( t \) en (II)
\( 3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-qr(3^{2k-3}u-2p)=2pqr-3^{2k-1}p^3 \)
y haciendo el desarrollo queda que todos los sumando son múltiplos de \( 3 \) excepto   
\( (2p)^3  \) ya que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \).
Sí es correcto esto contradice que para el caso \( n=3 \) el UTF es cierto?
Muchas gracias!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola el_manco,
efectivamente hay una errata... pero volviendo a lo que teníamos:
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow  \)
\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)
luego
\( q^3+r^3\equiv0\pmod{3^k} \) para algún \( k \)
y podemos escribir \( q^3+r^3 = 3^k.j \) para algún \( j \) no múltiplo de \( 3 \).
Nos queda (I) como
\( 3^k.j=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)

Si \(  k<\frac{m+1}{3}  \) entonces el lado izquierdo de la igualdad en (I) no es múltiplo  de 3 y el derecho si lo es. Luego esta situación no puede darse.
Si  \(  k>\frac{m+1}{3}  \) el lado izquierdo de la igualdad en (I) es múltiplo  de \( 3 \) y el derecho no lo es ya que \( p,q,r \) no son múltiplos de \( 3 \). Luego esta situación tampoco puede darse.

Buscamos entonces soluciones para \(  k=\frac{m+1}{3}  \).

Correcto. Todo eso se sintetiza si aquí:

\(  q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \) (I)

dices que llamarás \( \frac{m+1}{3}=k \) y por tanto:

\( q^3+r^3=2\cdot 3^{k}pqr-3^{3k-1}p^3=3^k(2pqr-3^{2k-1}p^3) \)

Pero donde me pierdo es aquí:

Como también
\( q^3+r^3=(q+r)^3-\color{red}3pr(p+r)\color{black} \Rightarrow q^3+r^3=(3^{k-1}t)^3-3pr(3^{k-1}t)  \)

¿No sería:

\( q^3+r^3=(q+r)^3-\color{red}3qr(q+r)\color{black} \) ?

(es decir \( q \) en lugar de \( p \)).

Saludos.

P.D. La otra noche tras poner el chupete a mi hija, me vino la luz y dos años después comprendí (entre otras cosas) creo que completamente tu nick. 

[aureodd]

Hola,
sí, ya lo he corregido, creo que no se me ha escapado nada y me parece que no afecta a la conclusión final...

PD. El nick? Ya lo utilicé en el cuento/acertijo matemático: C3PO, R2D2 y un reparto justo
http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/187/111/1/4/

Es curioso, como dices, como viene la luz de repente para cosas que ni siquiera se habían planteado de forma consciente... 
Esto me recuerda lo que le ocurrió a un lector de Pingüinos alrededor de un agujero (un clásico de la revista Cacumen)
 http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/93/111/1/0/
cuando leyó la siguiente nota:
"Los juegos de ingenio, son generalmente los más dificiles de resolver ya que no se podemos aplicar ningun conocimiento previamente adquirido, matematico, lógico, etc y nos tenemos que proveer de nuestra intuicion, memoria, suerte (?), ingenio...por eso, hay juegos que resolveremos en unos segundos, otros nos llevará meses  - como el de JASON"
y le "iluminó" la solución del de JASON ....

(*) El de JASON es otro clásico y dice: ¿Qué letra sigue a la serie J,A,S,O,N?

Disculpad la intromisión de este par de acertijos

[Luis Fuentes]

Hola

 Debí de darme cuenta que la errata no influía en el desarrollo. Perdona.

 Ahora esto:

\( 3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-qr(3^{2k-3}u-2p)=2pqr-3^{2k-1}p^3 \)
y haciendo el desarrollo queda que todos los sumando son múltiplos de \( 3 \) excepto   
\( (2p)^3  \) ya que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \).

 no lo veo. Queda:

\(  3^{2k-3}(3^{2k-3}u-2p)^3-3^{2k-3}qru=-3^{2k-1}p^3 \)

 Dividiendo por \( 3^{2k-3} \):

\(  (3^{2k-3}u-2p)^3-qru=-9p^3 \)

 Entonces al desarrollar quedará que \( -(2p)^3-qru \) tiene que ser múltiplo de tres.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
sí, es correcto tu apunte. No me dí cuenta que faltaba dividir \(  3^{2k-3}qru \)
por \( 3^{2k-3} \).
muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola,
si teníamos

\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)

Además
\(  z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-q^3 \)
Sustituyendo en los valores de \( x,y,z \) anteriores en el término general del UTF
\( x^3=y^3+z^3 \)
nos queda
\( (3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3)^3=(3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3)^3+(3^{\frac{m+1}{3}}pqr-p^3)^3 \) (I)

Por otro lado teníamos
\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \Rightarrow  q^3+3^mp^3+r^3 =2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Luego
\( \frac{ q^3+3^mp^3+r^3}{2}=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Sustituyendo en (I) y multiplicando todo por \( 2^3 \)
\( (q^3+r^3-3^mp^3)^3=(q^3-r^3+3^mp^3)^3+(-q^3+r^3+3^mp^3)^3 \)
Tenemos entonces que si el UTF tiene solución para \( x^3=y^3+z^3 \)
también lo tiene para \( X^3=Y^3+Z^3 \)
con \( (\underbrace{q^3+r^3-3^mp^3}_X)^3=(\underbrace{q^3-r^3+3^mp^3}_Y)^3+(\underbrace{-q^3+r^3+3^mp^3}_Z)^3 \)
luego \( Y+Z=2\cdot3^mp^3 \) es múltiplo de \( 3 \) (II)
pero en un resultado previo vimos que si \( Y,Z \) son soluciones del UTF e \( Y+Z \) son múltiplos de \( 3 \)
entonces \( Y+Z \) tiene que ser de la forma \( 3^jP^3 \) con \( j\equiv 2 \pmod 3 \) (III)
nos queda entonces de (II) y (III)
 \( Y+Z=2\cdot3^mp^3=3^jP^3 \)
¿Esta igualdad puede darse? Creo que no ya que en el caso de que \( p \) fuera múltiplo de \( 2 \) tendríamos que \( Y+Z \), por un lado es múltiplo de \( 2^{3k+1} \) para algún \( k \) y por el otro, en el caso de que \( P \) fuera múltiplo de \( 3 \), que   \( Y+Z \) es multiplo de \( 2^{3t} \) para algún \( t \). Es decir, \( Y+Z \) no puede ser a la vez multiplo de \( 2^{3k+1} \) y \( 2^{3t} \). Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
si teníamos

\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)

Además
\(  z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-q^3 \)
Sustituyendo en los valores de \( x,y,z \) anteriores en el término general del UTF
\( x^3=y^3+z^3 \)

En realidad con mi notación: \( x^3+y^3+z^3=0 \). Pero esto es secundario.

pero en un resultado previo vimos que si \( Y,Z \) son soluciones del UTF e \( Y+Z \) son múltiplos de \( 3 \)
entonces \( Y+Z \) tiene que ser de la forma \( 3^jP^3 \) con \( j\equiv 2 \pmod 3 \) (III)

Pero esos resultados se obtuivieron bajo el supuesto de \( X,Y,Z \) coprimos. En este caso \( X,Y,Z \) son múltiplos de dos.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,

Pero esos resultados se obtuvieron bajo el supuesto de \( X,Y,Z \) coprimos. En este caso \( X,Y,Z \) son múltiplos de dos.

totalmente de acuerdo, muchas gracias por el apunte.
Siguiendo mi notación para intentar no perderme con los signos, teníamos
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \)(1)
De aquí se puede deducir:
I) \( q-r<3^mp \)
Prueba:
Si ponemos \( q-r \geq 3^mp \)
se puede comprobar que la igualdad en (1) no puede darse (lado izquierdo de la igualdad mayor que el lado derecho), luego \( q-r<3^mp \)
II) \( q-r \equiv 0 \pmod 3 \)
Prueba:
Utilizando el PTF en (1)

Ahora quiero ver si \( q-r \equiv 0 \pmod p \)
De I) y II)
\( q-r =3^mp -3u  \) para algún \( u \) (2)
Como \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \), sustituimos en (1)
\( (q-r)^3+3qr(q-r)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
y utilizando (2) nos queda
\( (3^mp-3u)^3+3qr(3^mp-3u)-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^mpqr \)
donde todos los términos son múltiplos de \( p \) excepto
\( -(3u)^3-3^2uqr=-3^2u(3u^2+qr) \)
Como \( p,q,r \) son coprimos no múltiplos de \( 3 \) entonces ¿\(  p|u \)?
Si es correcto, entonces podemos poner \( u=sp \) para algún \( s \)
y (2) nos queda
 \( q-r =3^mp -3sp \) ?

Muchas gracias!
Saludos