Hola
Después de pensar un poco para gestionar las últimas condiciones se me ocurre razonar de manera un tanto más artesanal.
CASO 1) Notamos que si \( max(x_5,x_6)\geq 1 \) entonces necesariamente \( x_4,x_3,x_2,x_1\geq 1 \). En ese caso las únicas posibilidades son:
- Para \( (x_5,x_6)=(1,1) \), \( (1,1,1,1,1,1) \).
- Para \( (x_5,x_6)=(1,0) \), \( x_1=x_2=x_3=x_4=1 \) o bien \( x_1 \) ó \( x_2=2 \). Son tres opciones.
- Para \( (x_5,x_6)=(0,1) \), ídem.
Tenemos en el caso 1: \( 1+3+3=7 \) opciones.
En lo que sigue necesariamente \( x_5=x_6=0 \).
CASO 2) Si \( max(x_3,x_4)\geq 2 \) entonces \( x_2,x_1\geq 2 \) y las únicas posiblidades son \( (2,2,2,0,0,0) \) ó \( (2,2,0,2,0,0) \).
Tenemos en el caso 2. \( 2 \) opciones.
CASO 3) Si \( max(x_3,x_4)\geq 1 \) entonces \( x_2,x_1\geq 1 \):
- Si \( (x_3,x_4)=(1,1) \) entonces las posiblidades para \( x_2,x_1 \) son el número de soluciones de:
\( 2\leq x_2+x_1\leq 4 \) con \( 1\leq x_1,x_2 \)
Equivalentemente el número de soluciones de:
\( 0\leq x_2'+x_1'\leq 2 \) con \( 0\leq x_1',x_2' \)
Esto son \( CR_{3,2}=\displaystyle\binom{4}{2}=6 \)
- Si \( (x_3,x_4)=(1,0) \) entonces las posiblidades para \( x_2,x_1 \) son el número de soluciones de:
\( 2\leq x_2+x_1\leq 5 \) con \( 1\leq x_1,x_2\leq 4 \)
Equivalentemente el número de soluciones de:
\( 0\leq x_2'+x_1'\leq 3 \) con \( 0\leq x_1',x_2'\leq 3 \)
Esto son \( CR_{3,3}=\displaystyle\binom{5}{3}=10 \)
- Si \( (x_3,x_4)=(0,1) \) idem.
Tenemos en el caso 3. \( 6+10+10=26 \) opciones.
CASO 4. Finalmente \( x_5=x_4=x_3=x_2=0 \) y hay que contar las soluciones de:
\( 1\leq x_1+x_2\leq 6 \) con \( 0\leq x_1,x_2\leq 4 \)
que son \( CR_{3,6}-1-6=\displaystyle\binom{8}{6}-7=21 \).
En total y si no me equivoqué:
\( 7+2+26+21=56 \) opciones
Saludos.
