[Enrique Rosas]

Determinar los valores de \( t \) para los cuales la integral
\(
\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{x^2}e^{-x^2-t^2/x^2}dx
 \)
converge uniformemente.
Aquí no se que hacer con el \( \frac{1}{x^2} \), porque sabemos que esa integral no converge en ningún intervalo donde el extremo inferior sea cero.

[Masacroso]

Determinar los valores de \( t \) para los cuales la integral
\(
\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{x^2}e^{-x^2-t^2/x^2}dx
 \)
converge uniformemente.
Aquí no se que hacer con el \( \frac{1}{x^2} \), porque sabemos que esa integral no converge en ningún intervalo donde el extremo inferior sea cero.

Observa que \( x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}=e^{-(x^2+t^2/x^2+2\ln x)} \), y que si \( t\neq 0 \)

\( \displaystyle{
\lim_{x\to 0^+}\left(x^2+\frac{t^2}{x^2}+2\ln x\right)=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{t^2}{x^2}+2\ln x\right)=\lim_{x\to 0^+}\frac{t^2+2x^2\ln x}{x^2}=\lim_{x\to 0^+}\frac{t^2}{x^2}=\infty
} \)

Es decir que \( \lim_{x\to 0^+}x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}=0 \), por tanto la integral impropia converge si \( t\neq 0 \), y para \( c>1 \) tenemos que

\( \displaystyle{
\left| \int_0^\infty x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}dx-\int_0^c x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}dx \right|\leqslant \int_{c}^{\infty }e^{-x}\,d x\leqslant \frac1{c}
} \)

Por tanto la integral converge uniformemente en \( \mathbb{R}\setminus \{0\} \).

[Enrique Rosas]

Observa que \( x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}=e^{-(x^2+t^2/x^2+2\ln x)} \), y que si \( t\neq 0 \)

\( \displaystyle{
\lim_{x\to 0^+}\left(x^2+\frac{t^2}{x^2}+2\ln x\right)=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{t^2}{x^2}+2\ln x\right)=\lim_{x\to 0^+}\frac{t^2+2x^2\ln x}{x^2}=\lim_{x\to 0^+}\frac{t^2}{x^2}=\infty
} \)

Una duda, en el penúltimo paso de la igualdad, ¿por qué desaparece el término \( 2x^2\text{ln}x \)?

[Masacroso]

Observa que \( x^{-2}e^{-x^2-t^2/x^2}=e^{-(x^2+t^2/x^2+2\ln x)} \), y que si \( t\neq 0 \)

\( \displaystyle{
\lim_{x\to 0^+}\left(x^2+\frac{t^2}{x^2}+2\ln x\right)=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{t^2}{x^2}+2\ln x\right)=\lim_{x\to 0^+}\frac{t^2+2x^2\ln x}{x^2}=\lim_{x\to 0^+}\frac{t^2}{x^2}=\infty
} \)

Una duda, en el penúltimo paso de la igualdad, ¿por qué desaparece el término \( 2x^2\text{ln}x \)?

La cuestión es que \( \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0 \), por tanto \( \lim_{x\to 0^+}2x^2 \ln x=0 \) también, de donde se sigue que cerca de cero \( t^2+2x^2\ln x\geqslant K \), para algún \( K>0 \). Quizá no debí de escribir esa igualdad ya que, aunque cierta, puede confundir un poco al no ser claro el razonamiento entre los términos, pero la idea intuitiva es que cerca de cero el término \( 2x^2 \ln x \) es arbitrariamente pequeño en valor absoluto, por tanto no influye en el resultado final.

[Enrique Rosas]

Muchas gracias.