Autor Tema: Geometría axiomática

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13 Julio, 2021, 12:13 am
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Marco Uriel

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¿Es la geometría absoluta de Hilbert de segundo-orden?

Esto me lo pregunto porque me resulta más fácil manipular expresiones de un lenguaje formal para hacer demostraciones que proceder informalmente, en todo caso el tratamiento formal me resulta algo más fácil. Ahora estoy con la geometría absoluta y me he encontrado con una axiomatización que utiliza la teoría de conjuntos para su desarrollo, aunque de forma implícita.

El quinto axioma de incidencia que me aparece en esa axiomatización es el siguiente:

Todo plano pasa al menos por tres puntos no colineales

Es la sentencia anterior de segundo orden?

13 Julio, 2021, 02:30 am
Respuesta #1

argentinator

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Para que la teoría sea de 2do orden tiene que tener alguna necesidad de cuantificar sobre predicados,
lo cual no recuerdo que exista en la Geometría de Hilbert.

¿Es la geometría absoluta de Hilbert de segundo-orden?
Todo plano pasa al menos por tres puntos no colineales

Es la sentencia anterior de segundo orden?

La sentencia es de primer orden, y podría expresarse así:

\(\forall P\in \mathcal P:\,\exists x\in P:\,\exists y\in P:\,\exists z\in P:\, \forall \ell\in\mathcal L:\,\{x,y,z\}\not\subset \ell.\)

En castellano: Para todo \(P\) en la familia \(\mathcal P\) de todos los planos,
existen puntos \(x,y,z\) en \(P\) tales que para todo \(\ell\) de la famlia \(\mathcal L\) de rectas,
los tres puntos \(x,y,z\) no están a la vez en \(\ell\).

La relación "pasa por" se interpreta a veces como \(\ni\) (en el caso de puntos), y a veces como \(\supset\).

14 Julio, 2021, 02:08 am
Respuesta #2

Marco Uriel

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sigo dando con el problema de determinar si los axiomas de Hilbert son de primer o segundo orden. Ahora me he dado cuenta que el siguiente axioma me resulta más interesante si usted me diera una respuesta de a qué tipo pertenece:

"Por cada dos puntos distintos \(P_1\) y \(P_2\) pasa una única línea \(L\)"

En efecto, este axioma es más simple y lo expresé como sigue:

\[ \forall{(P_1, P_2)\in{RPD}\; \exists{L}} (P_1 \in{L} \wedge P_2\in{L} ) \]


Luego, RPD es la relación de puntos diferentes que definí cómo:

\[ RPD = \left\{{(P_1, P_2)|P_1 \neq P_2}\right\} \]

Para esta formulación da la idea de que se es segundo orden, si tiene una mejor formulación para ver los errores que pude cometer se lo agradecería.

14 Julio, 2021, 03:12 am
Respuesta #3

argentinator

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sigo dando con el problema de determinar si los axiomas de Hilbert son de primer o segundo orden. Ahora me he dado cuenta que el siguiente axioma me resulta más interesante si usted me diera una respuesta de a qué tipo pertenece:

"Por cada dos puntos distintos \(P_1\) y \(P_2\) pasa una única línea \(L\)"

En efecto, este axioma es más simple y lo expresé como sigue:

\[ \forall{(P_1, P_2)\in{RPD}\; \exists{L}} (P_1 \in{L} \wedge P_2\in{L} ) \]


Luego, RPD es la relación de puntos diferentes que definí cómo:

\[ RPD = \left\{{(P_1, P_2)|P_1 \neq P_2}\right\} \]

Para esta formulación da la idea de que se es segundo orden, si tiene una mejor formulación para ver los errores que pude cometer se lo agradecería.

En realidad uno puede usar un lenguaje de 2do orden si quiere.
Pero en realidad no es necesario.
Lo que has definido como RPD puede considerarse una "clase propia", con lo cual todavía estamos en un lenguaje de 1er orden.
No veo nada que sea estrictamente de 2do orden en lo que has escrito.

Sería mucho más simple usar simplemente la relación de igualdad negada, sin inventar una clase RPD.
En cuanto al cuantificador de existencia, debiera ser de existencia y unicidad (existe una única L tal que blah blah blah):

\[ \forall (P_1, P_2)\bigg(P_1\neq P_2\; \to\; \exists! \, L \in \mathcal L\, (P_1 \in{L} \wedge P_2\in{L} ) \bigg). \]

\(\exists! \)  =  "existe un único..."



14 Julio, 2021, 03:55 am
Respuesta #4

Marco Uriel

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Claro, la formulación que me presenta es mucho más fácil y mejor, llegué a ella después de ver que la que tenía era muy laboriosa. Pero hay algo que me sigue inquietando, y eso tiene que ver con el como las expresiones como la última que acaba de proponer son usadas al momento de efectuar deducciones.

¿Por qué la inquietud?

Bueno, ¿las variables que \( P_1 \) y \( P_2 \) que aparecen en el consecuente de la implicación son libres o ligadas?

Se supone que son ligadas al cuantificador universal, en todo caso la expresión anterior sería lo mismo que:

\( \forall{(P_1, P_2}(P_1 \neq P_2) \Rightarrow{\forall{(P_1, P_2)}\exists{!L}(P_1\in{L}\wedge P_2\in{L}} \)



En ese caso, si tenemos que \( \forall{(P_1, P_2)(P_1 \neq P_2)} \), por M.P. se tiene que \( \forall{(P_1, P_2)}\exists{!L}(P_1\in{L}\wedge P_2\in{L} \) pero en ese caso nada en el consecuente dice que \( P_1 \) y \( P_2 \) son diferentes, ¿Cómo se soluciona el problema?, ¿Cómo se deriva la conclusión de forma que el consecuente diga que \( P_1 \) no es igual a \( P_2 \)?

Más importante aún , ¿Es la expresión \( \forall{(P_1, P_2}(P_1 \neq P_2) \Rightarrow{\forall{(P_1, P_2)}\exists{!L}(P_1\in{L}\wedge P_2\in{L}} \)
 que propuse ser equivalente a la que mostró previamente realmente equivalente?



Nota: ¿Puede referirse a la s rectas sin decir que pertenecen a la familia de las rectas tal y como hice en la expresión que propuse equivalente a la previa de usted?

14 Julio, 2021, 05:22 pm
Respuesta #5

argentinator

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Bueno, ¿las variables que \( P_1 \) y \( P_2 \) que aparecen en el consecuente de la implicación son libres o ligadas?

Se supone que son ligadas al cuantificador universal, en todo caso la expresión anterior sería lo mismo que:

\( \forall{(P_1, P_2}(P_1 \neq P_2) \Rightarrow{\forall{(P_1, P_2)}\exists{!L}(P_1\in{L}\wedge P_2\in{L}} \)

No, no sería lo mismo.
El consecuente dice otra cosa, ya que admite que \(P_1,P_2\), puedan ser iguales.

Citar

En ese caso, si tenemos que \( \forall{(P_1, P_2)(P_1 \neq P_2)} \), por M.P. se tiene que \( \forall{(P_1, P_2)}\exists{!L}(P_1\in{L}\wedge P_2\in{L} \) pero en ese caso nada en el consecuente dice que \( P_1 \) y \( P_2 \) son diferentes, ¿Cómo se soluciona el problema?, ¿Cómo se deriva la conclusión de forma que el consecuente diga que \( P_1 \) no es igual a \( P_2 \)?

No hace falta que diga que eso en el consecuente.
Es una redundancia innecesaria.
Después de todo es una implicación, y no un "si y sólo si".

Citar
Más importante aún , ¿Es la expresión \( \forall{(P_1, P_2}(P_1 \neq P_2) \Rightarrow{\forall{(P_1, P_2)}\exists{!L}(P_1\in{L}\wedge P_2\in{L}} \)
 que propuse ser equivalente a la que mostró previamente realmente equivalente?

Nota: ¿Puede referirse a la s rectas sin decir que pertenecen a la familia de las rectas tal y como hice en la expresión que propuse equivalente a la previa de usted?

No es equivalente a lo que yo puse.

Si sólo se pone \(L\), sin decir nada más, no se sabe si \(L\) es una recta o cualquier otro tipo de conjunto.
Hay que decir algo acerca de qué propiedades cumple \(L\).
La familia \(\mathcal L\) se va determinando poco a poco a medida que se introducen los axiomas de punto, recta y plano.