Autor Tema: Dado un conjunto, ¿existe otro conjunto disjunto y equipotente al dado?

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05 Julio, 2021, 06:48 pm
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Eparoh

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Hola a todos, como bien dice en el título, mi pregunta es si dado un conjunto cualquiera \( X \), existe otro conjunto \( Y \) de modo que \( X \cap Y =
\emptyset \) e \( Y \) es equipotente con \( X \).

Creo que es fácil demostrarlo si consideramos los axiomas básicos de ZF (extensionalidad, par, unión y reemplazo) junto al axioma de regularidad, pues bastaría considerar \( Y=X \times \{X\} \).

Efectivamente, la equipotencia es clara pues basta considerar la biyección \( x \rightarrow{} (x,X) \) y el hecho de que sean disjuntos lo garantiza el axioma de regularidad. Si existiera un elemento de \( Y \), \( (x,X) \) que también pertenezca a \( X \) tenemos que

\( X \in \{x,X\} \in \{\{x\}, \{x,X\}\}=(x,X) \in X \)

contradiciendo el axioma de regularidad.

Ahora bien, mi pregunta es si es posible demostrar este resultado sin apelar al axioma de regularidad, es decir, empleando únicamente los cuatro axiomas básicos de ZF.

Por poner la pregunta en contexto, me surge de observar que siempre que en álgebra o topología se define alguna propiedad a partir de un embedimiento siempre he podido demostrar que a partir del embedimiento, es posible construir otro espacio con las propiedades deseadas y que contenga propiamente el conjunto de partida.

Por ejemplo, en topología una compactificación de un espacio \( X \) se define como un par \( (Y, f) \) tal que \( Y \) es compacto y \( f:X \longrightarrow Y \) es un homeomorfismo en su imagen de modo que \( f(X) \) es denso en \( Y \). Entonces, si es posible asegurar la existencia de un conjunto disjunto a \( X \), es fácil construir a partir de \( Y \) y de \( f \) una compactificación \( (Z, i) \) tal que \( X \) es un subespacio denso de \( Z \) (con subespacio me refiero a que \( X \subset Z \) y su topología relativa a \( Z \) es precisamente la original de \( X \)) e \( i \) no es más que la inclusión en este caso.

Un saludo y gracias por las respuestas.

Pd. Se que la razón por la que busco saber si la proposición propuesta es cierta con un número mínimo de axiomas, mucha gente podría argumentar que va en contra del propio espíritu de las matemáticas, pero yo siempre he pensado que por muy buenos que sean los isomorfismos si conoces de la existencia precisa de un objeto ¿para que usar una copia con distintas etiquetas?

16 Julio, 2021, 01:18 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Dado un conjunto \( X \), en Z tienes la existencia de \( A=\bigcup\bigcup X \), es decir, el conjunto de los elementos de los elementos de los elementos de \( X \).

Pero en Z puedes demostrar que no existe ningún conjunto que contenga a todos los conjuntos, luego tiene que existir un conjunto \( x \) que no pertenezca a \( A \).

Entonces \( X'=X\times\{x\} \) cumple lo que pides, pues si existiera un \( (u, x)\in X\cap X' \), entonces \( x\in\{u, x\}\in (u, x)\in X \) implicaría que \( x\in A \).

19 Agosto, 2021, 08:33 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Hola Carlos, no se que me pasa a veces que no me notifica por correo las respuestas nuevas y no me entero :/

La solución que propones me parece muy elegante, ¡muchas gracias!

Había encontrado otra solución utilizando el concepto de clausura transitiva, pero la tuya es más simple y además no utiliza reemplazo  ;D

Un saludo y gracias.

19 Agosto, 2021, 08:42 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola Carlos, tengo una consulta

Dado un conjunto \( X \), en Z tienes la existencia de \( A=\bigcup\bigcup X \), es decir, el conjunto de los elementos de los elementos de los elementos de \( X \).

¿"En Z" te refieres a los axiomas de ZF?

¿\( A \) se puede escribir como \( A=\{\{X\}\} \)?

Gracias y saludos

19 Agosto, 2021, 08:59 pm
Respuesta #4

Eparoh

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Hola manooooh, creo que puedo responderte yo (y así también me esfuerzo yo en entender todo mejor) pero si meto la pata seguro que Carlos nos saca de dudas a ambos.

¿"En Z" te refieres a los axiomas de ZF?

Creo que se refiere a la teoría de conjuntos de Zermelo, donde los únicos axiomas son extensionalidad, par, unión y especificación (no se si me deje alguno).

¿\( A \) se puede escribir como \( A=\{\{X\}\} \)?

No, no son los mismos conjuntos.

Para el conjunto que propones \( A=\{\{X\}\} \) se tiene que \( y \in A \) si, y solo si, \( y=\{X\} \), es decir, \( A \) es el conjunto cuyo único elemento es el conjunto \( \{X\} \).

Mientras que para \( A=\bigcup \bigcup X \) se tiene que \( y \in A \) si, y solo si, existe un elemento \( z \in \bigcup X \) tal que \( y \in z \). Es decir, como dijo Carlos, es el conjunto de los elementos de los elementos de los elementos de X.

Por ejemplo, si \( X=\{\{\{1,2\}\}, \{\{3,4\}\}\} \) tenemos que
\( A=\{\{X\}\}=\{\{\{\{\{1,2\}\}, \{\{3,4\}\}\}\}\} \)
mientras que
\( A=\bigcup\bigcup X = \bigcup \{\{1,2\}, \{3,4\}\}=\{1,2,3,4\} \)
que como ves, son muy distintos.

Un saludo.

19 Agosto, 2021, 09:21 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Hola manooooh, creo que puedo responderte yo (y así también me esfuerzo yo en entender todo mejor) pero si meto la pata seguro que Carlos nos saca de dudas a ambos.

No has dejado nada que pueda añadir.   :)

19 Agosto, 2021, 10:10 pm
Respuesta #6

manooooh

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Hola Eparoh, muchas gracias por tu respuesta!

No, no son los mismos conjuntos.

Para el conjunto que propones \( A=\{\{X\}\} \) se tiene que \( y \in A \) si, y solo si, \( y=\{X\} \), es decir, \( A \) es el conjunto cuyo único elemento es el conjunto \( \{X\} \).

Mientras que para \( A=\bigcup \bigcup X \) se tiene que \( y \in A \) si, y solo si, existe un elemento \( z \in \bigcup X \) tal que \( y \in z \). Es decir, como dijo Carlos, es el conjunto de los elementos de los elementos de los elementos de X.

Por ejemplo, si \( X=\{\{\{1,2\}\}, \{\{3,4\}\}\} \) tenemos que
\( A=\{\{X\}\}=\{\{\{\{\{1,2\}\}, \{\{3,4\}\}\}\}\} \)
mientras que
\( A=\bigcup\bigcup X = \bigcup \{\{1,2\}, \{3,4\}\}=\{1,2,3,4\} \)
que como ves, son muy distintos.

Entiendo, es como que \( \bigcup \) va "quitando llaves". Si tomamos a \( X \) como el de tu ejemplo, ¿cuánto sería \( B=\bigcup\bigcup\bigcup X \)? ¿Sigue siendo \( \{1,2,3,4\} \) o como ya no hay más llaves que quitar, se adopta \( \emptyset \)?

Aunque debo decir que me parece una notación bastante confusa, entendiendo que \( \bigcup \) tiene un uso distinto cuando usamos índices, por ejemplo \( \bigcup X_i=X_1\cup X_2\cup\dots\cup X_n \) (de hecho, el mismo comando de LaTeX lo delata).

No has dejado nada que pueda añadir.   :)

Extraño nuestros debates. :(

Saludos

19 Agosto, 2021, 10:23 pm
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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Entiendo, es como que \( \bigcup \) va "quitando llaves".

Sí, es una forma de verlo. \( \bigcup X \) es la unión de los elementos de \( X \).

Si tomamos a \( X \) como el de tu ejemplo, ¿cuánto sería \( B=\bigcup\bigcup\bigcup X \)? ¿Sigue siendo \( \{1,2,3,4\} \) o como ya no hay más llaves que quitar, se adopta \( \emptyset \)?

Siempre hay llaves que quitar. Todo es un conjunto. En este caso, \( 1=\{0\} \), \( 2=\{0,1\} \), \( 3=\{0, 1, 2\} \), \( 4=\{0, 1, 2, 3\} \), luego \( \bigcup\bigcup\bigcup X=\{0, 1, 2, 3\} \).

Aunque debo decir que me parece una notación bastante confusa, entendiendo que \( \bigcup \) tiene un uso distinto cuando usamos índices, por ejemplo \( \bigcup X_i=X_1\cup X_2\cup\dots\cup X_n \) (de hecho, el mismo comando de LaTeX lo delata).

No tiene un uso distinto:

\( \bigcup_{i=1}^nX_i = X_1\cup\cdots \cup X_n=\bigcup\{X_1,\ldots, X_n\} \).

Son dos formas de expresar lo mismo, con o sin índices. \( \bigcup \) se emplea en cualquier caso para representar la unión de una familia de conjuntos, finita o infinita.

19 Agosto, 2021, 10:34 pm
Respuesta #8

manooooh

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Hola

Son dos formas de expresar lo mismo, con o sin índices. \( \bigcup \) se emplea en cualquier caso para representar la unión de una familia de conjuntos, finita o infinita.

Claro. Nunca recapacito en que cuando dices

Sí, es una forma de verlo. \( \bigcup X \) es la unión de los elementos de \( X \).

"elementos" también hace referencia a conjuntos. Probablemente tenga la errada noción de conjunto como una bolsa y adentro puede contener caramelos, donde los caramelos no son conjuntos (bolsas), pero sí que existe una bolsa con bolsas de caramelos. Siempre creí que así se le enseñaba a los niños la noción básica de conjunto.

\( \bigcup_{i=1}^nX_i = X_1\cup\cdots \cup X_n=\bigcup\{X_1,\ldots, X_n\} \).

Me intriga saber cuándo se da que \( \bigcup X=\emptyset \). La motivación proviene de que el conjunto vacío es el elemento neutro para la unión. Según entiendo, \( \bigcup X=\emptyset\iff X=\emptyset\lor X=\{\emptyset\} \) pero, ¿hay más conjuntos?

Saludos

19 Agosto, 2021, 10:46 pm
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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Siempre creí que así se le enseñaba a los niños la noción básica de conjunto.

También se les enseña a los niños que \( 5-7 \) no se puede restar. Por otro lado, lo de que "todo es un conjunto" no es más que un convenio útil que simplifica la teoría de conjuntos. Nada impide considerar teorías de conjuntos con átomos, es decir, elementos que no son conjuntos, pero son un poco más complicadas y no aportan nada, salvo en contextos técnicos muy concretos.

Según entiendo, \( \bigcup X=\emptyset\iff X=\emptyset\lor X=\{\emptyset\} \) pero, ¿hay más conjuntos?

No hay más. Si \( A\in X \), pero \( A\neq \emptyset \), entonces existe un \( a\in A \), pero entonces \( a\in \bigcup X\neq \emptyset \).