Autor Tema: Teorema de Banach-Tarski y variedades usadas en ciencias experimentales

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17 Febrero, 2021, 01:09 pm
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Este famoso teorema es contraintuitivo para muchas personas pero como creo que he leído en algún mensaje de Carlos Ivorra no lo es tanto si uno lo considera pensando en conjuntos de puntos y lo que significa admitir que existen conjuntos no-medibles. Mi duda no va por tanto en el sentido habitual que se detiene en la "paradoja", lo que quiero es intentar relacionar las premisas del teorema con lo que asumimos generalmente en geometría diferencial para no tropezarnos con este tipo de situaciones que aplicadas a lo real sean absurdas y que se suele dar por zanjado diciendo que en el caso de los conjuntos aplicados a la física o a la ingeniería nunca se usan conjuntos no medibles, sin especificar exactamente como se asegura uno de ello en todos los casos posibles.

Una cosa que se me ocurre aunque no sé si voy bien encaminado o no, es que en el teorema de Banach-Tarski se asume una acción libre y transitiva del grupo no amenable de rotaciones \( SO(3) \) en el espacio \( \mathbb{R^3} \), mientras que los espacios generalmente usados en modelos matemáticos de ciencias físicas suelen ser espacios vectoriales de 3 o más dimensiones en los que se explotan sus propiedades afines como espacios homogéneos por lo cual tienen un subgrupo estabilizador o de isotropía no trivial, es decir que no actúa libremente(además de transitivamente) en tal espacio, pero esta acción libre (de un grupo libre) era una condición para encontrar conjuntos no-medibles  en el teorema de Banach-Tarski, o eso entiendo. Después de un rato de darle vueltas no veo si/dónde he metido la gamba?

17 Febrero, 2021, 04:17 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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lo que quiero es intentar relacionar las premisas del teorema con lo que asumimos generalmente en geometría diferencial para no tropezarnos con este tipo de situaciones que aplicadas a lo real sean absurdas y que se suele dar por zanjado diciendo que en el caso de los conjuntos aplicados a la física o a la ingeniería nunca se usan conjuntos no medibles, sin especificar exactamente como se asegura uno de ello en todos los casos posibles.

No creo que dependa de ninguna premisa geométrica que asumas o dejes de asumir. Lo que vuelve irreal a la paradoja de Banach-Tarski o, más en general, a la "existencia física" de conjuntos no medibles es que violan de raíz la naturaleza discontinua de la materia. En muchos contextos físicos es habitual suponer distribuciones continuas de materia (en la mecánica del sólido rígido, en la mecánica de fluidos, etc.), pero eso es una hipótesis descaradamente falsa que es asumible y conveniente en la medida en que no te pongas a rascar en la naturaleza microscópica de la materia, porque entonces todo pierde sentido.

Para descomponer paradójicamente una esfera, la materia que la compone tendría que llenar completamente su interior, sin huecos. Como eso no es así, tendrías que parcelar cada molécula, cada átomo, tendrías que decir: esta región del espacio es la que corresponde exactamente a este átomo, lo cual ya de por sí te daría problemas al considerar los enlaces atómicos, pero no bastaría, porque la descomposición requeriría partir esas regiones, de modo que partes distintas fueran a piezas distintas de la descomposición, y de hecho tendrías que partir átomos, protones, quarks... lo cual se aleja de toda interpretación física. Las partículas elementales no "llenan el espacio" en la forma tradicional consistente en decir que ocupan tal región de \( \mathbb R^3 \), sino que su posición es meramente una estimación estadística de la probabilidad de que en un momento dado la partícula esté en una zona dada del espacio, y la formulación matemática de esta deslocalización cuántica ya parte de considerar únicamente conjuntos medibles a la hora de definir estadísticamente la posición de una partícula elemental.

Tampoco entiendo a qué te refieres cuando hablas de "asegurarnos de que no nos encontramos conjuntos no medibles en todos los casos posibles". ¿Cómo te vas a encontrar un conjunto no medible? Es como si preguntas cómo nos aseguramos de que nunca encontraremos una magnitud física con infinitos decimales. Pero si es que nunca vas a poder medir más que un número finito de ellos. No vas a encontrar nunca a \( \pi \) en la naturaleza, con todas sus cifras decimales. Otra cosa es que \( \pi \) aparezca en fórmulas físicas.

Si estás estudiando la evolución de un fluido continuo y consideras un "elemento de volumen", lo considerarás medible. Podrías considerarlo no medible, pero no tendrías nada que hacer con él, así que no lo consideras, pero la diferencia entre tomarlo medible  o no medible es la diferencia entre tomar una abstracción ideal que no tiene realidad física (no hay elementos de volumen de fluidos continuos, porque no hay fluidos continuos), pero que describe razonablemente bien fluidos formados por muchísimas partículas muy pequeñas, a considerar una abstracción ideal que no tiene conexión alguna con la mecánica del fluido que estás aproximando con un modelo continuo. No tiene sentido decir: "ahí hay conjuntos no medibles, pero nos negamos a hablar de ellos porque no nos conviene", sino más bien: nos inventamos elementos de volumen ideales que no existen, porque la materia no es continua, pero los tomamos medibles porque eso nos basta para aproximar razonablemente el comportamiento macroscópico de una realidad cuántica microscópica.

Insisto en que no sé en qué contextos estás pensando en los que podríamos encontrarnos en la situación de decir: para abordar este problema tenemos que tratar con este conjunto, pero no podemos asegurar que sea medible. Los conjuntos no te los encuentras, sino que los pones tú a tu gusto.

Una cosa que se me ocurre aunque no sé si voy bien encaminado o no, es que en el teorema de Banach-Tarski se asume una acción libre y transitiva del grupo no amenable de rotaciones \( SO(3) \) en el espacio \( \mathbb{R^3} \),

No entiendo a qué te refieres con "se asume". El grupo \( SO(3) \)  actúa sobre los puntos de cualquier bola euclídea, te guste o no. No hay nada que asumir. Allí donde tengas una bola euclídea puedes descomponerla paradójicamente sin hipótesis alguna (más allá de suponer que el espacio es identificable con \( \mathbb R^3 \), o que una región local del espacio es identificable con una bola en \( \mathbb R^3 \), con eso basta). Otra cosa es que partir de un modelo continuo de la materia y pretender considerar en él un "elemento de volumen sin volumen" es poner el dedo en la llaga de la discontinuidad de la materia de la que los modelos continuos hacen abstracción.

Por otro lado, todo eso a lo que aludes es sólo maquinaria para hacer más espectacular el asunto, pero para construir conjuntos medibles más modestos no necesitas nada de eso, y es igual de intratable considerar conjuntos no medibles espectaculares que duplican esferas que considerar conjuntos no medibles más anodinos que, no obstante, son igualmente inadmisibles desde un punto de vista físico.

mientras que los espacios generalmente usados en modelos matemáticos de ciencias físicas suelen ser espacios vectoriales de 3 o más dimensiones en los que se explotan sus propiedades afines como espacios homogéneos por lo cual tienen un subgrupo estabilizador o de isotropía no trivial, es decir que no actúa libremente(además de transitivamente) en tal espacio, pero esta acción libre (de un grupo libre) era una condición para encontrar conjuntos no-medibles  en el teorema de Banach-Tarski, o eso entiendo. Después de un rato de darle vueltas no veo si/dónde he metido la gamba?

No entiendo lo que dices. En cuanto tienes un espacio vectorial de tres dimensiones, si le supones una métrica euclídea, ahí tienes quieras o no la posibilidad de tomar una bolita y partirla paradójicamente. Sólo que para llevar esa partición ideal a la práctica tendrías que mandar un trocito de quark aquí y otro allá, lo cual no tiene ningún significado físico, pues no puedes asignar a cada quark un recinto espacial al que llamar "el espacio que ocupa" (en términos clásicos, no probabilísticos), ni mucho menos partirlo en cachitos.

17 Febrero, 2021, 05:18 pm
Respuesta #2

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Carlos, te has puesto a hablar de lo que supone el teorema de Banach-Tarski en la realidad física y eso no lleva a ninguna parte que no sea hundirse en paradoja tras paradoja(hasta has mencionado quarks), además no tiene nada que ver mi pregunta que se limita a la parte matemática del teorema(y por eso hablo que de lo que se asume, como en cualquier teorema) y de investigar la razón por la que los modelos matemáticos físicos no llevan nunca a algo como las "bolas mágicas" de Banach-Tarski.

Entonces partiendo de que el teorema de Banach-Tarski demuestra que para dimensión n mayor o igual que 3 no existe en \( \mathbb{R^n} \) una medida \( \mu \) que sea a la vez exhaustiva(o sea que se cumpla en cualquier sitio del espacio dado), invariante por isometrı́as y para la que la medida del n-cubo unidad sea 1, o en otras palabras, que no existe una medida universal en \( \mathbb{R^n} \), si  \(  n ≥ 3 \), lo que me preguntaba es si hay alguna característica de los espacios usados usualmente en física como \( \mathbb{R^3} \) o \( \mathbb{R^4} \) o espacios de Hilbert combinados con los anteriores, en los que no debería haber una medida universal por que cumplen lo dicho arriba sobre invariancia, exhaustividad y normalización, que haga que no tengan problemas de conjuntos no-medibles en sus bolas.

Aventuraba yo que se podía deber a que tales modelos matemáticos no permiten a sus espacios el uso de grupos de isotropía triviales, es decir la acción libre y transitiva de grupos como \( SO(3) \) en \( \mathbb{R^3} \), pero como no has querido entrar en esto pues no sé si sigues sin entenderme, o si no has visto nunca la demostración de Banach-Tarski en términos de conjuntos paradójicos y las acciones de ciertos grupos no amenables sobre ellos.

 

 

17 Febrero, 2021, 05:30 pm
Respuesta #3

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En cuanto tienes un espacio vectorial de tres dimensiones, si le supones una métrica euclídea, ahí tienes quieras o no la posibilidad de tomar una bolita y partirla paradójicamente. Sólo que para llevar esa partición ideal a la práctica tendrías que mandar un trocito de quark aquí y otro allá, lo cual no tiene ningún significado físico, pues no puedes asignar a cada quark un recinto espacial al que llamar "el espacio que ocupa" (en términos clásicos, no probabilísticos), ni mucho menos partirlo en cachitos.

En realidad esto es lo que estoy diciendo, que la manera de garantizar que no se pueden mandar trocitos aquí y allá, ni asignarles espacios ni partirlos, puesto en términos más matemáticos, y ya que los espacios matemáticos no entienden nada de materia ni de significados físicos como el propio teorema de Banach-Tarski demuestra, creo que es considerar solo conjuntos en los que la acción del subgrupo estabilizador no pueda ser libre y transitiva(que no pueda ser un subgrupo trivial) en ese espacio.

17 Febrero, 2021, 06:09 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Me parece que te estás liando con algo. La paradoja de Banach-Tarski se da en \[ \Bbb R^3 \] con la acción usual de \[ SO(3) \] como las rotaciones, que no es ni libre (pues fija el origen) ni transitiva. con la acción usual del grupo de isometrías de \[ \Bbb R^3 \].

En particular no hay absolutamente nada a nivel matemático que impida que no se dé la paradoja en los espacios que se consideran en física, más allá de que no hace falta considerar nunca conjuntos no medibles (todas las aplicaciones usuales son medibles, todos los abiertos, cerrados, o cualquier conjunto que vayas a necesitar para hacer geometría diferencial es medible, etc.).

Corregido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Febrero, 2021, 06:36 pm
Respuesta #5

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Me parece que te estás liando con algo. La paradoja de Banach-Tarski se da en \[ \Bbb R^3 \] con la acción usual de \[ SO(3) \] como las rotaciones, que no es ni libre (pues fija el origen) ni transitiva.
Quizás me esté liando con que en la demostración del teorema sí se ha de usar la acción libre y transitiva.


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En particular no hay absolutamente nada a nivel matemático que impida que no se dé la paradoja en los espacios que se consideran en física, más allá de que no hace falta considerar nunca conjuntos no medibles (todas las aplicaciones usuales son medibles, todos los abiertos, cerrados, o cualquier conjunto que vayas a necesitar para hacer geometría diferencial es medible, etc.).
Uf, esto es algo complicado de explicar a lo que me refiero. ¿Me podrías explicar qué significa que no hace falta considerar conjuntos no-medibles, cuando estos como me estáis recalcando se dan en cualquier espacio con las características necesarias de número de dimensiones, grupo de rotaciones, etc?
Ojo, que yo no digo que haya algo que matemáticamente impida que se dé la paradoja sino que el requisito de no considerar conjuntos no-medibles se puede formalizar con lo que expliqué en los otros mensajes.

He visto que has corregido y lo que has puesto ahora me suena más

17 Febrero, 2021, 07:35 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Fíjate por eso en que la acción del grupo de isometrías sigue sin ser libre, pues por ejemplo cualquier rotación deja un punto fijo. Tampoco creo que sea necesario que la acción sea transitiva. Repasando la prueba, y si no me equivoco, creo que basta con el subgrupo de las isometrías generado por un subgrupo de \[ SO(3) \] isomorfo a \[ F_2 \] (grupo libre con dos generadores), otra rotación que pasa por el origen, y una rotación que no pasa por el origen. Como este subgrupo es numerable, la acción no puede ser transitiva.

Si no te importa, pon el enunciado del teorema que requiere que la acción sea libre y transitiva.

Uf, esto es algo complicado de explicar a lo que me refiero. ¿Me podrías explicar qué significa que no hace falta considerar conjuntos no-medibles, cuando estos como me estáis recalcando se dan en cualquier espacio con las características necesarias de número de dimensiones, grupo de rotaciones, etc?
Ojo, que yo no digo que haya algo que matemáticamente impida que se dé la paradoja sino que el requisito de no considerar conjuntos no-medibles se puede formalizar con lo que expliqué en los otros mensajes.

A lo que me refiero es a que, por ejemplo en física clásica, si defines las trayectorias de las partículas, los campos, etc. como funciones diferenciables (o incluso continuas, o mucho más débil, medibles), nunca te vas a encontrar con un problema que requiera considerar conjuntos no medibles, porque todas las operaciones que puedas hacer con conjuntos (uniones, intersecciones, imágenes inversas, etc.) preservan los conjuntos medibles. Yo que sé, si por ejemplo quieres estudiar una acción continua de un grupo topológico en una variedad, los conjuntos de puntos fijos van a ser medibles, las órbitas de los puntos van a ser medibles, etc.

Ahora bien, nadie te impide considerar un conjunto no medible si es que quieres hacerlo. Desde este punto de vista, matemáticamente no hay nada que te proteja de los conjuntos no medibles. Solo que a mí no se me ocurre ninguna situación plausible en física o en geometría diferencial en la que sea necesario o conveniente considerar conjuntos no medibles.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Febrero, 2021, 07:47 pm
Respuesta #7

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Es posible que lo que me estaba liando es no considerar el grupo de isometrías, incluyendo rotaciones y traslaciones que este sí usa la acción usual y haberme concentrado en el de rotaciones sólo que al fijar el origen por definición impide tener una bola en \( \mathbb{R^3} \) de caracter paradójico. Así que no se puede usar lo que yo decía ya que el grupo de isometrías sí define la bola unidad  paradójica bajo la acción del grupo de isometrías que incluye traslaciones.

Me pregunto entonces por los espacios usados en física relativista que deben utilizar la representación vectorial para acceder por ejemplo a la cubierta universal del grupo de Poincaré, o sea que no dispondrían del grupo de isometrías afín para eso. Pero claro aquí ya es más dificil considerar una bola espacial al ser un espaciotiempo donde la división entre su parte espacial y temporal solo se puede hacer en reposo. Vamos que no sé si habrá una versión pseudoeuclídea del teorema de Banach-Tarski.

17 Febrero, 2021, 07:53 pm
Respuesta #8

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Fíjate por eso en que la acción del grupo de isometrías sigue sin ser libre, pues por ejemplo cualquier rotación deja un punto fijo. Tampoco creo que sea necesario que la acción sea transitiva. Repasando la prueba, y si no me equivoco, creo que basta con el subgrupo de las isometrías generado por un subgrupo de \[ SO(3) \] isomorfo a \[ F_2 \] (grupo libre con dos generadores), otra rotación que pasa por el origen, y una rotación que no pasa por el origen. Como este subgrupo es numerable, la acción no puede ser transitiva.

Si no te importa, pon el enunciado del teorema que requiere que la acción sea libre y transitiva.

Sí, en el siguiente post que escribí sin ver esta respuesta tuya hago referencia a esto. El teorema que tenía en mente(y creía que era el relevante pero no) se refería solo al grupo \( SO(3) \) y no es necesario tal acción para el grupo de isometrías que incluye traslaciones porque entonces se puede evitar el molesto punto fijo en el origen.
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A lo que me refiero es a que, por ejemplo en física clásica, si defines las trayectorias de las partículas, los campos, etc. como funciones diferenciables (o incluso continuas, o mucho más débil, medibles), nunca te vas a encontrar con un problema que requiera considerar conjuntos no medibles, porque todas las operaciones que puedas hacer con conjuntos (uniones, intersecciones, imágenes inversas, etc.) preservan los conjuntos medibles. Yo que sé, si por ejemplo quieres estudiar una acción continua de un grupo topológico en una variedad, los conjuntos de puntos fijos van a ser medibles, las órbitas de los puntos van a ser medibles, etc.

Ahora bien, nadie te impide considerar un conjunto no medible si es que quieres hacerlo. Desde este punto de vista, matemáticamente no hay nada que te proteja de los conjuntos no medibles. Solo que a mí no se me ocurre ninguna situación plausible en física o en geometría diferencial en la que sea necesario o conveniente considerar conjuntos no medibles.

Completamente de acuerdo. Voy a ver si le doy alguna vuelta más y si se me ocurre algo que añadir vuelvo.

17 Febrero, 2021, 08:25 pm
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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Carlos, te has puesto a hablar de lo que supone el teorema de Banach-Tarski en la realidad física y eso no lleva a ninguna parte que no sea hundirse en paradoja tras paradoja(hasta has mencionado quarks), además no tiene nada que ver mi pregunta que se limita a la parte matemática del teorema(y por eso hablo que de lo que se asume, como en cualquier teorema) y de investigar la razón por la que los modelos matemáticos físicos no llevan nunca a algo como las "bolas mágicas" de Banach-Tarski.

Tenía clase esta tarde y no he podido responder hasta ahora, y veo que ya está el hilo muy avanzado. Precisamente si me he ido por el terreno físico era porque estaba dando por hecho lo que te ha dicho aquí geómetracat:

En particular no hay absolutamente nada a nivel matemático que impida que no se dé la paradoja en los espacios que se consideran en física, más allá de que no hace falta considerar nunca conjuntos no medibles.

Precisamente porque desde el punto de vista matemático la paradoja la tienes ahí, quieras o no, trataba de explicarte que el único motivo por el que la paradoja no se da "en la práctica" es porque las matemáticas aplicadas a la física parten de unos supuestos de continuidad que no son admisibles cuando es relevante la estructura microscópica de la materia, porque otro motivo no hay.

Entonces partiendo de que el teorema de Banach-Tarski demuestra que para dimensión n mayor o igual que 3 no existe en \( \mathbb{R^n} \) una medida \( \mu \) que sea a la vez exhaustiva(o sea que se cumpla en cualquier sitio del espacio dado), invariante por isometrı́as y para la que la medida del n-cubo unidad sea 1, o en otras palabras, que no existe una medida universal en \( \mathbb{R^n} \), si  \(  n ≥ 3 \), lo que me preguntaba es si hay alguna característica de los espacios usados usualmente en física como \( \mathbb{R^3} \) o \( \mathbb{R^4} \) o espacios de Hilbert combinados con los anteriores, en los que no debería haber una medida universal por que cumplen lo dicho arriba sobre invariancia, exhaustividad y normalización, que haga que no tengan problemas de conjuntos no-medibles en sus bolas.

No te sigo. ¿Quiéres que todos los subconjuntos de una bola sean medibles? ¿Pero te vale cualquier medida? Porque lo usual, si trabajas, digamos en \( \mathbb R^3 \), es considerar la medida de Lebesgue, que es la que se corresponde con el concepto de volumen asociado a la métrica usual, y a lo sumo podrás considerar posibles extensiones, pero si estás en \( \mathbb R^3 \) con la métrica usual y la medida de Lebesgue que le corresponde, pues ya tienes quieras o no la paradoja.

Aventuraba yo que se podía deber a que tales modelos matemáticos no permiten a sus espacios el uso de grupos de isotropía triviales, es decir la acción libre y transitiva de grupos como \( SO(3) \) en \( \mathbb{R^3} \), pero como no has querido entrar en esto pues no sé si sigues sin entenderme, o si no has visto nunca la demostración de Banach-Tarski en términos de conjuntos paradójicos y las acciones de ciertos grupos no amenables sobre ellos.

Sí, sé de lo que hablas, pero eso es sólo una generalización de la paradoja que permite reproducirla en otro tipo de espacios unificando los argumentos (en cuanto encuentras un grupo de isometrías paradójico sobre un conjunto ya tienes la paradoja automáticamente), y permite estudiar qué tipos de isometrías son necesarias, etc., ¿pero de qué te sirve generalizar si ya tienes un caso particular quieras o no? Si es un hecho que una bola es paradójica respecto del grupo formado por las isometrías y las traslaciones, ¿qué más te da si lo es para otros grupos o no? Ya tienes un caso particular que te genera la paradoja allí donde tengas una bola de \( \mathbb R^3 \) y suficientes isometrías, como vas a tener en cualquier contexto físico que considere un espacio tridimensional euclídeo (por ejemplo, una variedad diferencial con frontera que represente un tubo por el circula un fluido, etc.). Así que sigo sin ver qué es lo que buscas.

Por otro lado, te decía, que toda esa maquinaria para generar descomposiciones paradójicas es sólo artillería para obtener algo espectacular, como una duplicación de una esfera. Pero no necesitas conjuntos G-paradójicos para obtener modestos conjuntos no medibles en prácticamente cualquier contexto (por ejemplo, que involucre la geometría euclídea en \( \mathbb R^3 \)) que, aunque sean menos espectaculares, matemáticamente son bichos tan raros y desprovistos de interpretación física como las piezas de la descomposición de la esfera. Quiero decir que, aunque entendiera qué estás buscando —que sigo sin entenderlo— sólo estarías eliminando una curiosidad —que no entiendo cómo quieres eliminarla si el hecho es que la paradoja de Banach-Tarski la tienes ahí, quieras o no—, pero los conjuntos no medibles los tendrías igual, porque su existencia no depende de tanto artificio técnico.

A ver si voy bien por aquí: tenemos la paradoja de Banach-Tarski básica: una bola de \( \mathbb R^3 \) puede descomponerse paradójicamente mediante giros y traslaciones. Eso es un teorema que no requiere hipótesis alguna. Es como \( 2+2=4 \). Se demuestra y ya está. No es "Suponiendo tal y tal, podemos concluir que \( 2+2=4 \)". Es la afirmación "una esfera se puede partir en dos" y ya está. Sin hipótesis alguna.

Pero luego, ese teorema concreto se puede generalizar en la forma: Si en un espacio tienes un grupo que actúa sobre él, y dicho grupo tiene un subgrupo que cumple tales hipótesis, entonces tienes una descomposición paradójica. Y ahí sí que tienes un teorema con hipótesis que incluye el otro como caso particular.

Y entonces —digo yo si es esto lo que estás diciendo, que no lo sé— tú te pones a especular con esas hipótesis a ver cuándo se cumplen o no se cumplen, qué tiene que pasar para que se cumplan o dejen de cumplirse, pero no caes en la cuenta de que tienes el caso particular original, sin hipótesis, que va a estar ahí en cualquier espacio razonable mínimamente clásico, sin necesidad de que se cumpla ninguna hipótesis más allá de las obvias incluidas en lo de "mínimamente clásico", es decir, que modelice una realidad física que localmente sea como \( \mathbb R^3 \) con sus isometrías y traslaciones usuales, para que se dé el caso original de la paradoja.

Pero ya digo, estoy dando palos de ciego, porque sigo sin entender qué pretendes. Veo que has estado discutiendo con geómetracat las hipótesis que se requieren o no para que se cumpla el teorema general sobre descomposiciones paradójicas, pero lo que yo me pregunto es qué importa todo eso si en cualquier caso siempre vas a tener el caso original de la paradoja.