[jualfo]

¡Buenas tardes!
Tengo ciertas dudas con este ejercicio: En el conjunto \( A \) de las circunferencias del plano \( \mathbb{\mathbb{R^2}} \) definimos la relación binaria \( \mathcal R \): \( C_1 \;\mathcal R\; C_2 \) sii \( C_1 \) y \( C_2 \) tienen el mismo centro.

El ejercicio tiene 3 apartados:
- El primero es demostrar que es relación de equivalencia que lo he sabido hacer. 
- El segundo me pide que dibuje una circunferencia al azar y que dibuje su clase de equivalencia. 
- El tercero me pide que diga qué elemento es el más sencillo dentro de cada clase de equivalencia. 

Entiendo los conceptos teóricos que me están pidiendo. Sin embargo, no me había encontrado nunca con un ejercicio en el que tengo que dibujar la clase de equivalencia. Y en el tercero lo mismo, sé qué es una clase de equivalencia, pero no sé como encontrar el elemento más sencillo.

Muchas gracias,

Un saludo.

[Masacroso]

¡Buenas tardes!
Tengo ciertas dudas con este ejercicio: En el conjunto \( A \) de las circumferencias del plano \( \mathbb{\mathbb{R^2}} \) definimos la relación binaria \( R \): \( C_1 \)\( R \)\( C_2 \) sii \( C_1 \) y \( C_2 \) tienen el mismo centro.

El ejercicio tiene 3 apartados:
- El primero es demostrar que es relació de equivalencia que lo he sabido hacer. 
- El segundo me pide que dibuje una circumferencia al azar y que dibuje su clase de equivalencia. 
- El tercero me pide que diga qué elemento es el más sencillo dentro de cada clase de equivalencia. 

Entiendo los conceptos teóricos que me estan pidiendo. Sin embargo, no me había encontrado nunca con un ejercicio en el que tengo que dibujar la clase de equivalencia. Y en el tercero lo mismo, sé qué es una clase de equivalencia, pero no sé como encontrar el elemento más senzillo.

Muchas gracias,

Un saludo.

Difícilmente vas a poder dibujar su clase de equivalencia, ya que el conjunto de todos los círculos de mismo centro suponen el plano entero. Luego, para el último apartado, se podría considerar el representante más "sencillo" de cada clase de equivalencia como el propio centro de la circunferencia.

Nota: en ambas respuestas he asumido que permitimos que una circunferencia tenga radio cero.

[jualfo]

ya que el conjunto de todos los círculos de mismo centro suponen el plano entero

Pero si cojo solo una circumferencia, sí se tiene que poder encontrar y dibujar su clase, no?

Muchas gracias!

[Masacroso]

ya que el conjunto de todos los círculos de mismo centro suponen el plano entero

Pero si cojo solo una circumferencia, sí se tiene que poder encontrar y dibujar su clase, no?

Muchas gracias!

A ver: una clase de equivalencia está compuesta por todas las circunferencias con un mismo centro. Ahora observa que dado un centro cualquiera cada punto del plano pertenece a una circunferencia con ese centro, es decir, tendrías que pintar el plano entero.

[jualfo]

¡Cierto! Muchas gracias, estaba razonando mal

[Fernando Revilla]

Difícilmente vas a poder dibujar su clase de equivalencia, ya que el conjunto de todos los círculos de mismo centro suponen el plano entero. Luego, para el último apartado, se podría considerar el representante más "sencillo" de cada clase de equivalencia como el propio centro de la circunferencia.Nota: en ambas respuestas he asumido que permitimos que una circunferencia tenga radio cero.

Masacroso, supongo que ha sido un despiste por tu parte. La relación de equivalencia no es en \( \mathbb{R}^2 \) sino en \( A\subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^2) \). En consecuencia, si elegimos la circunferencia de centro \( (x_0,y_0) \) y radio \( r\ge 0 \), llamémosla \( C_{(x_0,y_0)}^r \), su clase de equivalencia es

        \( \overline{C_{(x_0,y_0)}^r}=\left\{{C_{(x_0,y_0)}^s:s\ge 0}\right\} \) con \( C_{(x_0,y_0)}^s\equiv (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=s^2 \),

i.e. el conjunto de todas las circunferencias concéntricas en \( (x_0,y_0) \).

Entonces, \( \overline{C_{(x_0,y_0)}^r}\ne \mathbb{R}^2 \) ahora bien, como \( (x_0,y_0) \) es circunferencia de centro \( (x_0,y_0) \) y radio \( 0 \) tenemos que \( C_{(x_0,y_0)}^r=\overline{\left\{{(x_0,y_0)}\right\}} \) y podemos identificar el conjunto cociente \( A/R \) con \( \mathbb{R}^2 \).

[Masacroso]

Difícilmente vas a poder dibujar su clase de equivalencia, ya que el conjunto de todos los círculos de mismo centro suponen el plano entero. Luego, para el último apartado, se podría considerar el representante más "sencillo" de cada clase de equivalencia como el propio centro de la circunferencia.Nota: en ambas respuestas he asumido que permitimos que una circunferencia tenga radio cero.

Masacroso, supongo que ha sido un despiste por tu parte. La relación de equivalencia no es en \( \mathbb{R}^2 \) sino en \( A\subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^2) \). En consecuencia, si elegimos la circunferencia de centro \( (x_0,y_0) \) y radio \( r\ge 0 \), llamémosla \( C_{(x_0,y_0)}^r \), su clase de equivalencia es

        \( \overline{C_{(x_0,y_0)}^r}=\left\{{C_{(x_0,y_0)}^s:s\ge 0}\right\} \) con \( C_{(x_0,y_0)}^s\equiv (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=s^2 \),

i.e. el conjunto de todas las circunferencias concéntricas en \( (x_0,y_0) \).

Entonces, \( \overline{C_{(x_0,y_0)}^r}\ne \mathbb{R}^2 \) ahora bien, como \( (x_0,y_0) \) es circunferencia de centro \( (x_0,y_0) \) y radio \( 0 \) tenemos que \( C_{(x_0,y_0)}^r=\overline{\left\{{(x_0,y_0)}\right\}} \) y podemos identificar el conjunto cociente \( A/R \) con \( \mathbb{R}^2 \).

No ha sido un despiste, más bien una interpretación del ejercicio. Ya sé que es en \( A \), pero si le piden "dibujar la clase de equivalencia" no sé como va a dibujar algo en un conjunto de elementos abstractos, por eso he supuesto que le pedían dibujar el conjunto de círculos en el plano que forman parte de la clase de equivalencia. Es decir, el ejercicio está mal formulado, al igual que cuando piden el "elemento más sencillo", siendo el de "sencillo" un adjetivo que no define nada en concreto.

Quizá debería haberlo aclarado.

Añado: por aclarar algo más el asunto, si cabe: una clase relación de equivalencia en un conjunto define una partición en el mismo (y viceversa), y la "representación" de una de sus clases de equivalencia en el plano, al ser el plano mismo, muestra que tal representación no define una clase relación de equivalencia en \( \mathbb{R}^2 \).

Corrección.

[Fernando Revilla]

No ha sido un despiste, más bien una interpretación del ejercicio. Ya sé que es en \( A \), pero si le piden "dibujar la clase de equivalencia" no sé como va a dibujar algo en un conjunto de elementos abstractos,

Si te dan una circunferencia concreta \( C \), basta dibujarla. Eso te dará un representante de la clase de equivalencia \( \overline{C} \) a la que pertenece \( C \). Entonces, cada elemento de \( \overline{C} \) es toda circunferencia \( C_r \) del plano con centro el de \( C \) y radio \( r\ge 0 \) genérico. Es decir, \( \overline{C}=\left\{{C_r:r\ge 0}\right\} \). Como en el dibujo anexo:

por eso he supuesto que le pedían dibujar el conjunto de círculos en el plano que forman parte de la clase de equivalencia.

Justo, eso es lo que pedían.

Es decir, el ejercicio está mal formulado, al igual que cuando piden el "elemento más sencillo", siendo el de "sencillo" un adjetivo que no define nada en concreto.

¿Donde está mal formulado? y sabido es que un punto es una circunferencia de radio \( 0 \).

Añado: por aclarar algo más el asunto, si cabe: una clase de equivalencia en un conjunto define una partición en el mismo (y viceversa), y la "representación" de la misma en el plano, al ser el plano mismo, no define una clase de equivalencia en \( \mathbb{R}^2 \).

Una clase de equivalencia no determina una partición, lo que determina una partición es el conjunto de todas las clases de equivalencia. Lo que has hecho es desglosar cada circunferencia en un conjunto de puntos con lo cual estás uniendo subconjuntos de \( \mathbb{R}^2 \) no de \( A \).

[Masacroso]

Es decir, el ejercicio está mal formulado, al igual que cuando piden el "elemento más sencillo", siendo el de "sencillo" un adjetivo que no define nada en concreto.

¿Donde está mal formulado? y sabido es que un punto es una circunferencia de radio \( 0 \).

En que no puedes dibujar la clase de equivalencia de ningún círculo en \( A \) porque \( A\not\subset \mathbb{R}^2 \) (y que yo sepa todo dibujo está contenido en el plano), y en que, como he dicho antes, la palabra "sencillo" sin más no tiene un significado o interpretación única. No sé exactamente cuál es tu crítica, o si me entiendes o hay algo que no sigo de lo que me dices.

Añado: por aclarar algo más el asunto, si cabe: una clase de equivalencia en un conjunto define una partición en el mismo (y viceversa), y la "representación" de la misma en el plano, al ser el plano mismo, no define una clase de equivalencia en \( \mathbb{R}^2 \).

Una clase de equivalencia no determina una partición, lo que determina una partición es el conjunto de todas las clases de equivalencia. Lo que has hecho es desglosar cada circunferencia en un conjunto de puntos con lo cual estás uniendo subconjuntos de \( \mathbb{R}^2 \) no de \( A \).

Quise decir relación de equivalencia, ése sí ha sido un despiste. He añadido una corrección en mi mensaje anterior para aclarar ese error.

[Fernando Revilla]

En que no puedes dibujar la clase de equivalencia de ningún círculo en \( A \) porque \( A\not\subset \mathbb{R}^2 \) (y que yo sepa todo dibujo está contenido en el plano), y en que, como he dicho antes, la palabra "sencillo" sin más no tiene un significado o interpretación única. No sé exactamente cuál es tu crítica, o si me entiendes o hay algo que no sigo de lo que me dices.

Lo que quiero decir es que cada elemento de \( A \) es una circcunferencia, y que el hecho de ser una circunferencia un subconjunto de puntos de \( \mathbb{R}^2 \) es accidental y propio de este problema. Con el dibujo

no estamos dibujando subconjuntos de \( \mathbb{R}^2 \) (cuya unión sería en tal caso \( \mathbb{R}^2 \)) sino que cada circunferencia del dibujo es un elemento de \( A \) y que todos esos elementos (no la unión de los puntos que determinan cada circunferencia) forman una clase de equivalencia (la que había que dibujar).