He recibido este mensaje privado:
Estimado Carlos Ivorra:
He estado leyendo discusiones sobre la fundamentación de la matemática que usted tuvo hace algunos años con otros miembros del foro, y he sacado mucho provecho de ello.
Existe un punto en particular que usted sostiene pero que aún no logro entender completamente. Consiste en que si trabajamos con afirmaciones intuitivamente verdaderas no podemos llegar a ninguna contradicción, es decir, obtenemos garantía de consistencia. Me sería más fácil concluir que existe una fuerte expectativa de consistencia, pero no tengo claro cómo usted defiende más bien su garantía, por ejemplo en la siguiente cita:
"Eso no significa que la geometría de cuatro dimensiones sea más sospechosa de ser contradictoria que la de tres dimensiones, pero el hecho de que podamos dar un contenido intuitivo a las afirmaciones de la geometría tridimensional euclídea es una garantía de consistencia: si pudiéramos demostrar una contradicción a partir de afirmaciones intuitivamente verdaderas, deberíamos ser capaces de intuir una contradicción, y podemos afirmar que eso es imposible." (30/10/2011, 11:56:15 am)
En concreto, no estoy seguro de a qué se refiere con "intuir una contradicción", y por qué "podemos afirmar que eso es imposible".
Saludos
Puesto que no es nada personal, creo preferible responder en público.
Ante todo, es importante dejar claro que lo que digo a continuación es mi opinión sobre estos asuntos, y que habrá otros matemáticos que opinen de otra manera. No es lo mismo que cuando digo que "se puede demostrar tal y tal cosa", en cuyo caso contradecir lo que digo no es contradecirme a mí, sino a la comunidad matemática en general.
No me he parado a buscar el hilo donde dije yo eso, por ver el contexto, pero no es importante porque estoy totalmente de acuerdo conmigo mismo.
Ante todo, cuando hablo de "intuición" no me refiero a lo que la mayoría de los matemáticos llaman habitualmente "intuición", es decir, un razonamiento no riguroso, de naturaleza dudosa y que perfectamente puede llevarnos a conclusiones equivocadas.
Yo utilizo la palabra "intuición" en su sentido kantiano, es decir, intuición es nuestra capacidad de formarnos representaciones mentales precisas de ciertos (no todos los) objetos matemáticos, esencialmente de (algunos) números, sucesiones de números, etc. y de (algunas) figuras geométricas.
La intuición en este sentido está necesariamente en la base de todo nuestro conocimiento matemático. El formalismo radical pretende erradicar todo recurso a la intuición mediante el empleo de sistemas axiomáticos, pero eso es imposible, pues el primer sistema axiomático que construyamos no podrá tener más fundamento que nuestra intuición. Requerirá hablar de signos, de cadenas de signos, de axiomas, de demostraciones, etc., y todo ello sin más base que nuestro conocimiento intuitivo de estos conceptos.
El formalismo radical es un producto erróneo de una observación real, y es que nuestra intuición tiene un alcance limitado, y que todo intento de emplearla fuera de su alcance puede llevar a error. Pero la solución a esto no es desconfiar de todo razonamiento intuitivo, sino comprender bien cuál es el alcance de nuestra intuición (o, por lo menos, poner cotas ciertas a dicho alcance) y nunca rebasar ese alcance (o esas cotas).
Por ejemplo, la geometría euclídea intuitiva nos permite representarnos los conceptos básicos de la geometría euclídea y constatar que sus axiomas son intuitivamente verdaderos, pero entre dichos axiomas no podemos incluir el axioma de completitud (el que dice esencialmene que si partimos una recta en dos mitades tiene que haber un punto O que sea el origen de dos semirrectas). No podemos visualizar todas las posibles particiones de una recta en dos mitades y asegurar que en todas ellas "vemos" un punto que está justo en la frontera entre ambas. Esa afirmación no tiene ningún fundamento intuitivo real. En cambio, sí que es intuitivamente verdadero que por un punto exterior a una recta pasa una única paralela. Dada cualquier recta intuitiva y cualquier punto intuitivo fuera de ella, siempre podemos imaginarnos una única paralela. Es imposible imaginar una recta sin rectas paralelas únicas por puntos exteriores arbitrarios. Otra cosa es que pasemos a llamar "rectas" a otras cosas y construyamos un modelo de una geometría no euclídea. Por ejemplo, si llamamos "rectas" a las trayectorias de los rayos de luz, podría ocurrir que hubiera rectas sin paralelas, pero no serían rectas intuitivas. Si pudiéramos ver dos rayos de luz que parten formando ángulos de 90 grados respecto de una recta común y terminan juntándose, sus trayectorias las veríamos curvas y no rectas.
Excluyendo, pues, el axioma de completitud, los demás axiomas de la geometría tridimensional euclídea son verdaderos en la geometría del espacio que intuimos (que no tiene por qué coincidir con la geometría del espacio físico). Si de esos axiomas se dedujera una contradicción, tendríamos un argumento lógico que, partiendo de unos axiomas intuitivamente verdaderos, nos permitiría llegar, a través de meros pasos lógicos, a cualquier conclusión que quisiéramos, por ejemplo, a que existen dos puntos de una recta que no tienen ningún punto entre ellos.
Pero eso es intuitivamente falso. No podemos imaginarnos dos puntos de una recta sin imaginarnos también un punto entre ellos. Si la geometría euclídea fuera contradictoria tendríamos que poder imaginarnos tal cosa y, como eso no es posible, la geometría euclídea tiene que ser consistente.
En realidad habría que matizar un poco más, pero no merece la pena hacerlo, en parte porque (y aquí sí que digo algo objetivo) la consistencia de la geometría euclídea elemental puede reducirse a la consistencia de una teoría axiomática sobre la clausura euclídea de \( \mathbb Q \) (el menor cuerpo de números reales que contiene a \( \mathbb Q \) y en el que todo número tiene una raíz cuadrada) y la consistencia de esta teoría puede reducirse a la consistencia de la aritmética de Peano, con lo que al final bastaría tratar con este caso, que es conceptualmente mucho más simple.
