[Juan Pablo Cardona Buitra]

Tengo una duda que puede parecer trivial, pero la verdad no he terminado de comprender muy bien, así que espero de su ayuda.

El Corolario 1.3.6 (p. 23) del libro de David Marker, Model Theory: An Introduction, dice que no es posible definir \( (\mathbb{R},+,\cdot,0,1) \) a partir del campo de los números complejos \( (\mathbb{C},+,\cdot,0,1) \). Para eso se utiliza un resultado anterior, la Proposición 1.3.5 (p. 23) que dice: Sea \( \mathcal{M} \) una \( \mathcal{L} \)-estructura. Si \( X\subseteq M^n \) es \( A \)-definible, entonces todo \( \mathcal{L} \)-automorfismo de \( \mathcal{M} \), digamos \( h \), tal que \( h(x)=x \) para todo \( x\in A \), entonces \( h(X)=X \).

La demostración procede de la siguiente manera: Si \( \mathbb{R} \) fuera definible a partir de \( \mathbb{C} \), entonces existiría un conjunto finito de parámetros \( A\subseteq\mathbb{C} \) que define a \( \mathbb{R} \). Elíjanse \( r,s\in\mathbb{C} \) tales que \( r\in\mathbb{R} \) y \( s\notin\mathbb{R} \) y que sean algebraicamente independientes sobre \( A \). Existe un automorfismo \( h \) de \( \mathbb{C} \) tal que \( h \) restringido a \( A \) es la identidad y \( h(r)=s \). Así, \( h(\mathbb{R})\neq\mathbb{R} \).

Mis dudas respecto a tal demostración surgen en los siguientes puntos: ¿para qué se necesita la independencia algebraica, porque es necesario decir \( r,s \) son algebraicamente independientes? Además, según la definición de independencia algebraica, ¿no es necesario que \( A \) sea un subcampo de \( \mathbb{C} \) para que se pueda hablar de independencia algebraica sobre \( A \)? Por último, ¿en virtud de qué resultado puede decirse que dicho automorfismo \( h \) con las condiciones que se mencionan allí existe?

Gracias por su respuesta.

[geómetracat]

Que \( r,s \) sean algebraicamente independientes sobre \( A \) imagino que quiere decir que no hay ningún polinomio de dos variables \( p(x,y) \) no nulo y con coeficientes en \( A \) tal que \( p(r,s)=0 \). Es cierto que normalmente en álgebra se habla de independencia algebraica sobre un cuerpo. Puedes hacer también la demostración pensando en que son algebraicamente independientes sobre \( \Bbb Q(A) \).

Es necesaria la independencia algebraica para asegurarse de que existe un automorfismo de los complejos \( h \) que fija \( A \) y tal que \( h(r)=s \). Esto es un resultado más o menos típico de teoría de cuerpos. Los elementos de \( \Bbb Q(A)(r,s) \) se pueden expresar como \( p(r,s)/q(r,s) \), donde \( p,q \) son polinomios de dos variables con coeficientes en \( \Bbb Q(A) \). Esto es una reformulación del hecho de que si \( r,s \) son algebraicamente independientes sobre \( \Bbb Q(A) \) entonces \( \Bbb Q(A)(r,s) \cong \Bbb Q(A)(X,Y) \).

Ahora, puedes definir una aplicación \( h: \Bbb Q(A)(r,s) \rightarrow \Bbb Q(A)(r,s) \) así: \( h(p(r,s)/q(r,s)) = p(s,r)/q(s,r) \), y puedes comprobar que está bien definida, es un automorfismo de cuerpos y cumple las condiciones pedidas.

Falta extender este automorfismo a un automorfismo de \( \Bbb C \). Para esto, hay que tener en cuenta lo siguiente: toda extensión de cuerpos \( L/k \) se puede descomponer como dos extensiones \( L/k(S)/k \), donde \( S \) es un conjunto maximal de elementos de \( L \) algebraicamente independientes sobre \( k \) (a esto se le llama una base de trascendencia) y la extensión \( L/k(S) \) es algebraica. Aplicando esto a la extensión \( \Bbb C/k \), donde \( k := \Bbb Q(A)(r,s) \), tenemos que existe un conjunto \( S \) (que será no numerable) algebraicamente independiente sobre \( k \) tal que \( \Bbb C/k(S) \) es algebraica. Ahora extendemos primero \( h \) a un automorfismo \( h: k(S) \rightarrow k(S) \) imponiendo \( h(x)=x \) para todo \( x \in S \). El hecho de que \( S \) sea algebraicamente independiente nos asegura que podemos hacer esto y obtener un automorfismo de \( k(S) \). Finalmente, como \( \Bbb C \) es la clausura algebraica de \( k(S) \), podemos extender este automorfismo hasta un automorfismo en \( \Bbb C \). Así obtenemos un automorfismo de \( \Bbb C \) con las condiciones pedidas.

[geómetracat]

No. \( \Bbb Q(A) \) es el menor subcuerpo de \( \Bbb C \) que contiene a todos los elementos de \( A \).

[Juan Pablo Cardona Buitra]

Mejor dicho, ¿la independencia algebraica es necesaria para poder construir y extender el automorfismo a \( \mathbb{C} \)? Porque en caso de que \( r \) y \( s \) no fueran algebraicamente independientes, ¿no se podría extender el automorfismo? o ¿qué pasa si tomo \( s \) y \( s \) no algebraicamente indep.?

Porque entiendo que el automorfismo \( h:\mathbb{Q}(A)(r,s)\to\mathbb{Q}(A)(r,s) \) esta bien def. y cumple lo pedido, pero no entiendo si acá es necesaria la condición de indep. algebraica de \( r \) y \( s \) (en caso que sí, ¿por qué?) o sólo es necesaria para cuando se hace la extensión del automorf. a \( \mathbb{C} \).

[geómetracat]

La independencia algebraica es necesaria para definir el automorfismo de \( \Bbb Q(A)(r,s) \). El problema es que si \( r,s \) no son algebraicamente independientes entonces existe una relación entre ellos que puede impedir que tengas \( h(r)=s, h(s)=r \). Por ejemplo, un caso muy sencillo: imagina que \( s=2r \). Entonces si tienes un automorfismo \( h \) tal que \( h(r)=s \), entonces \( h(s)=h(2r)=2h(r)=2s = 4r \neq r \), por lo que el automorfismo que queremos no existe.

Por cierto, en el futuro te agradecería que no borraras tus posts, más que nada para evitar que mensajes como el que te puse después queden sin contexto.