¡Buenas!

Estaba pensando que, como en NBG el concepto primitivo son clases en lugar de conjuntos quizá tuviera sentido hablar de "clases de clases" en el sentido que se habla de clases de conjuntos en ZFC aunque estas no sean parte estricta de la teoría. Pero por otro lado el uso de las clases es más limitado que el de los conjuntos así que no sé hasta qué punto tiene sentido lo que estoy diciendo.

¡Un saludo y gracias!

¡Buenas!

Una duda que me ronda en la cabeza desde hace un tiempo está motivada por una anotación que hace el libro de cálculo diferencial de Mazón y es que sugiere que un enfoque más natural para el cálculo de extremos relativos en funciones de varias variables sería tratar el concepto de diferencial segunda, pero que por ser este complicado a la práctica se reduce el problema al estudio del hessiano.

Más tarde en cálculo vectorial, para introducir el teorema de Stokes estudiamos las \( k \)-formas diferenciables. Es fácil notar que la diferencial es un caso particular de 1-forma diferenciable. Como después se define la diferencial exterior de \( k \)-formas diferenciables entonces recordé aquella observación que hacía el libro de cálculo diferencial.

Mi duda es si considerando la diferencial exterior de la diferencial de una aplicación de varias variables (entendiendo la diferencial de la aplicación de varias variables como una 1-forma) tenemos dicha diferencial segunda que se sugería en el libro y que serviría para encontrar exstremos relativos (aún cuando fuera más tedioso que mediante el hessiano).

¡Muchas gracias!

He estado meditando lo siguiente (quizá es una tontería):

De los conectores binarios del lenguaje \( \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow \), sólo es necesario considerar dos cualquiera en una construcción del lenguaje ya que los otros pueden deducirse (teniendo siempre como conector monario a la negación).

Que se puede considerar dos cualquiera lo he deducido viendo (uno por uno) que de los conjuntos:

a)  \( \wedge, \vee \)
b)  \( \wedge, \rightarrow \)
c)  \( \wedge, \leftrightarrow \)
d)  \( \vee, \rightarrow \)
e)  \( \vee, \leftrightarrow \)
f)  \( \rightarrow, \leftrightarrow \)

se pueden definir siempre los otros dos conectores.

Mi otra reflexión es que, contando la tautología, dos enunciados cualesquiera, sus posibles cinco formas de enlazarlos con lo 4 conectores (el implicador no es simetrico) hacen un total de 8 tablas de verdad distintas, que con sus negaciones son 16. Justo el número de tablas de la verdad posibles (\( 2^4 \)).  De aquí concluyo que no puede "faltar" ningún otro conector binario, que no sea uno de ellos o sus respectivas negaciones (por ejemplo a veces se usa el disyuntor exclusivo, pero es la negación del coimplicador).

Mi pregunta es si estas consideraciones que he hecho, tienen algo que ver con la completitud del lenguaje y si en lenguajes de primer orden, esa completitud nos garantiza lo que acabo de razonar "a la cuenta de la vieja". O bien si hay algún modo más "potente" o correcto de razonar las mismas cosas.

¡Un saludo! (y gracias por leer mis divagaciones)

Hola, ¡buenas!

Cuando hablamos de un modelo de un lenguaje formal de primer orden asociamos a él una colección de objetos que llamamos universo. ¿Este universo es una estructura (un conjunto, unas relaciones y unas funciones) o es un conjunto? Creo que es un conjunto porque dice que tiene que tener al menos un elemento y dice que las constantes (de haberlas) tienen asignadas un elemento (sin especificar que no sea una función, por ejemplo). ¿Tiene sentido decir que asociamos una estructura a un modelo?

¡Muchas gracias!

No sabía donde poner esto, tampoco si procede ponerlo en ningún sitio.

Ya van unos cuantos días que el foro me funciona muy lentamente. Con muy lentamente quiero decir que cada carga de página tarda con suerte un minuto y en el peor de los casos dos minutos, con lo que participar en algún tema me requiere una espera de unos 4 minutos, si no previsualizo los mensajes que escribo. A veces incluso se produce error en la carga de alguna página y he tenido que copiar en un bloc de notas para evitar perder mensajes largos. Con esto se vuelve un poco tedioso participar.

¿Es esto normal? ¿Me pasa sólo a mí? Es extraño porque no parece que ello afecte a nada más que a este foro, por lo que no parece (aunque pueda serlo) causa propia.

¡Un saludo!

Estaba ojeando el primer capítulo de Introducción a la topología de Juan Margalef Roig y Enrique Outerelo Domínguez y me he quedado un poco extrañado con esta frase (correspondiente a la prueba de que existe el conjunto vacío en la teoría de Zermelo).


No hay ningún axioma que lo asegure, ahora bien, hasta la fecha yo había dado por supuesto que en el universo de la teoría de conjuntos, pues hay conjuntos. En otros libros tampoco veo que repare en este detalle, lo da por supuesto y arreando. ¿Qué ha pasado aquí?

¡Un saludo!

En bastantes blogs de internet está activa una especie de discusión extraña acerca de \( 0^0 \). Yo entiendo que que dicha operación tenga un sentido u otro, o no tenga ninguno, depende mucho de las definiciones de potenciación que trabajemos.

Pero por lo visto hay un debate abierto, donde cada uno parece decir opiniones, sin justificarlas: al estilo de cuando se debate sobre el "color favorito" de uno.

En cierto Blog, no sé si está permitido citarlo, se exponía una demostración de que \( 0^0=1 \) basándose en una definición de potencia conjuntista (el cardinal del conjunto formado por las aplicaciones entre dos conjuntos). Pero se usaba como argumento para inferir que \( 0^0 \) será 1 en cualquier contexto. Yo no es que esto no lo comparta, es que básicamente no lo entiendo. ¿Tiene acaso algo que ver esta definición conjuntista con una supuesta idea intuitiva de \( 0^0 \)? ¿Que esto sea así en los naturales tiene que extrapolarse necesariamente a la potenciación real definida con la exponencial?

También he visto supuestas pruebas usando la regla de l'Hôpital y ciertas sucesiones, que la convergencia de las mismas sea 1, a mí , particularmente no me dice nada, pero por lo visto para algunos es un argumento de peso.

Yo en ese blog comenté hace ya un tiempo esto mismo, que no se puede extrapolar esa prueba a todos los contextos, a lo que el autor me contestó que podía persistir todo lo que quisiera en el error, sin más.

Si planteo este tema aquí no es con la intención de generar este tipo de debates controvertidos, sino, símplemente, con toda humildad, me gustaría conocer una opinión profesional y argumentada.

La única noción entre comillas intuitiva, que veo es la siguiente:





Tampoco veo, empero, que esto fuerce a que pase igual en ámbitos distintos a los "naturales"...

Hola, muy buenas y gracias por dedicarme atención.

Mi problema es que yo en primero de carrera estudié un poco (realmente poco) de lógica, lo que pasa es que ahora que estoy intentando aprender a un nivel más elevado, me está costando intentar encajar lo que me enseñaron por encima con lo que leo ahora.

En los libros más avanzados, cogemos una axiomática para el lenguaje lógico y que una regla de inferencia sea cierta depende de que pueda probarse como teorema con la axiomática. Esto lo veo muy razonable y más justificado que lo que me contaron a mí en primero (pero seguro que todo tiene que tener relación, si no me tomaron el pelo).

A nosotros lo único que hicieron es darnos una tabla de verdad para cada conector lógico (de cuantificadores nos hablaron superficialmente y poco hicimos en lógica, pues ya entramos a trabajar con conjuntos sin contarnos que estábamos en ZF o algo similar). A partir de esas tablas nos dieron dos afirmaciones que gastábamos ciegamente como si fueran una suerte de axiomas:

1. Si dos tablas de verdad son iguales, las expresiones a las que van referidas son las mismas (equivalentes).
2. Una regla de inferencia es una expresión del tipo \( \alpha\rightarrow{\beta} \) cuya tabla de verdad es todo unos (tautología), en cuyo caso escribimos \( \alpha\Rightarrow{\beta} \).

A partir de ahí también podíamos probar reglas de inferencia a partir de otras reglas de inferencia. Mis problemas son dos:

El primero, que no veo cómo encajar esto en la axomatización del lenguaje lógico, ni veo por qué 1 o 2 tengan que ser ciertas. Entiendo que esto de las tablas de verdad tiene que ver con el modelo de ese lenguaje, ¿pero esto quiere decir que estas dos afirmaciones son ciertas de forma intuitiva? ¿que esto se escapa a la axiomatización? Estoy perdido con esto.

El segundo: que no he encontrado en ningún libro de lógica la distinción entre el símbolo \( \rightarrow{} \) y el símbolo \( \Rightarrow{} \). Parecía muy útil esa distinción, por ejemplo para enunciar de forma cómoda el modus ponendo ponens:


Porque si yo veo


no veo ninguna diferencia entre los símbolos y no entiendo por qué debo entender que hay una inferencia. También he vivido mucho tiempo pensando que cuando los matemáticos usan \( \Rightarrow{} \) era un caso particular de \( \rightarrow{} \), pero no algo equivalente, aún cuando algunos profesores los emplean indistintamente. Ahora no sé si me equivocaba.

Es cierto que en las inferencias, en libros más avanzados emplean un signo totalmente diferente, pero a la hora de trabajar en tablas utilizan el condicional, indistintamente.

Siento si no sé explicar mi problema demasiado bien, porque como no entiendo bien las cosas, no sé exactamente cuál es.

¡Un saludo y muchas gracias!

Buenas, ante todo, me gustaría agradecer la maravillosa comunidad que he tenido la suerte de encontrar aquí. Siempre es genial ver estas ganas de aprender y de ayudar aprender y me gustaría intentar participar activamente en ella.

El motivo que me lleva a escribir este mensaje es que estoy intentando introducirme en el estudio de los fundamentos matemáticos y me he frenado al llegar a este punto, al teorema de Lowenheim-Skolem. Este viene a afirmar algo así como (perdonad si me equivoco) que si una teoría es consistente, entonces el universo del modelo és como máximo numerable.

Mi problema más que nada reside en el propio enunciado (llegar a comprender las pruebas que lo acompañaban me ha resultado un poco difícil, pero creo que más o menos empiezo a encajar las ideas). Y es que resulta que no soy capaz de ver este resultado para el caso concreto de ZFC, ya que se me hace imposible imaginar un modelo numerable para los conjuntos.

Por ejemplo, el conjunto de las partes de los naturales \( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \) conocido no numerable, está formado por subconjuntos de \( \mathbb{N} \), esto és: conjuntos. Esto me hace pensar que si ya sólo considerando los conjutos de \( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \) tenemos una cantidad no numerable, si vamos añadiendo más conjuntos diferentes...


(léase esto muy entrecomillado, ya que no existe un conjunto universo y esto no tiene sentido) este conjunto \( U \), que sólo existe en mi vago intento de imaginar la situación, está muy lejos de ser «menos no numerable» que \( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \). Y si no he entendido mal, cada conjunto debería corresponderse con un objeto del modelo... Pero el modelo, si queremos admitir la posibilidad de que en ZFC no haya contradicciones (cosa lógica, por otro lado, dado que desconocemos acerca de su consistencia), debe de ser numerable. Aquí me pierdo.

Sin divagar tanto, una manera más "legal" de expresar mi problema es pensar en un trozo del modelo (ya que no hay conjunto universo y las equiparaciones son oscuras), concretamente con el trozo correspondiente a los elementos de \( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \). No soy capaz de imaginar que tenga otro "tamaño" distinto. Osea, que tengamos una cantidad numerable de objetos en el modelo, siendo que sus conjuntos asociados forman una colección no numerable.

Quizá no entiendo algunas cosas básicas bien y estoy haciéndome un soberano lío... Y estoy dudando ya de demasiadas cosas y ando bastante perdido.

He buscado mucha documentación y he tratado de ver con calma en distintas fuentes, pero en casi todas se le da un enfoque muy superficial (en el sentido coloquial de la palabra). Donde he encontrado una explicación más detallada ha sido en el libro Lógica matemática de Carlos Ivorra. He encontrado un enfoque muy detallado que me ha parecido que viene a significar algo como que "el concepto de biyección" no funciona igual en el modelo que en la teoría, si bien parte de un supuesto que es el que soy incapaz de entender: que puedas asignar a cada elemento de \( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \) un objeto en el modelo. Cosa que no soy capaz de poder ver, porque para ir etiquetando uno a uno cada objeto de dicho conjunto de forma numerable necesito (YO, en mi cabeza, no tiene por qué ser cierto, pero no lo sé concebir de otra manera) que ese conjunto sea numerable...

Luego, en dicho libro hay unas aclaraciones con símiles con conceptos relacionados del cine (sí, con las películas) que si bien me parece muy ilustrativo no ha acabado de sacarme de el mareo que tengo ahora mismo (si a alguien le interesa puedo intentar esbozarlo, pero creo que ya me estoy enrrollando demasiado).

He intentado tratarlo con profesores de mi facultad pero no están familiarizados con estos teoremas y han tenido sensaciones similares a las mías cuando les he enseñado mi problema. Si alguien pudiera arrojarme un poco de luz sobre este tema le estaría muy agradecido.

¡Un saludo! ¡y espero haberme hecho entender, que quizá peco de enrollarme tanto que dificulto la comprensión de lo escrito!