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Temas - jorgepm

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Muy buenos dias, se me ha planteado una cuestion de teoria de la medida la cual no consigo resolver. Si pudierais decirme como la realizariais vosotros estaria muy agradecido.


Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida finita y sea \( f:X\longrightarrow{}[-\infty,+\infty] \) una funcion medible.
Probar que f es integrable si y solo si  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\mu( \left \{ x\in{}X:|f(x)|\geq{}n \right \})<+\infty \).
Y como indicacion me dicen que use la formula de Abel de sumacion por partes.


Gracias de antemano


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Muy buenos dias, soy nuevo en el foro y el ejercicio con relación a este tema es el siguiente;

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida y sea \( L^{1}(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrables,
con el convenio de que dos funciones \( f,g\in{L^{1}(\mu)} \) son iguales si \( f(x)=g(x) \) en casi todo punto.


1. Probar que \( L^{1}(\mu) \) es un espacio vectorial

2. Probar que la expresion \( ||f||_1 \)=\( \displaystyle\int_{X}|f| d\mu \) define una norma en \( L^{1}(\mu) \)

3. Probar que si \( (X,M,\mu) \) es completo entonces (\( L^{1}(\mu), ||·||_1 \))  es un espacio de Banach.


Muchas gracias por adelantado

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