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Mensajes - jorgepm

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Muy buenos dias, se me ha planteado una cuestion de teoria de la medida la cual no consigo resolver. Si pudierais decirme como la realizariais vosotros estaria muy agradecido.


Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida finita y sea \( f:X\longrightarrow{}[-\infty,+\infty] \) una funcion medible.
Probar que f es integrable si y solo si  \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\mu( \left \{ x\in{}X:|f(x)|\geq{}n \right \})<+\infty \).
Y como indicacion me dicen que use la formula de Abel de sumacion por partes.


Gracias de antemano


2
Muchas gracias a los dos por vuestras respuestas, me han sido de muchisima utilidad  :) :) :)

3
Muy buenos dias, soy nuevo en el foro y el ejercicio con relación a este tema es el siguiente;

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida y sea \( L^{1}(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrables,
con el convenio de que dos funciones \( f,g\in{L^{1}(\mu)} \) son iguales si \( f(x)=g(x) \) en casi todo punto.


1. Probar que \( L^{1}(\mu) \) es un espacio vectorial

2. Probar que la expresion \( ||f||_1 \)=\( \displaystyle\int_{X}|f| d\mu \) define una norma en \( L^{1}(\mu) \)

3. Probar que si \( (X,M,\mu) \) es completo entonces (\( L^{1}(\mu), ||·||_1 \))  es un espacio de Banach.


Muchas gracias por adelantado


Es un ejercicio trivial, ¿tienes alguna duda específica? Todos los puntos son consecuencias directas de las propiedades de la integral de Lebesgue y de las definiciones de espacio vectorial, norma y espacio de Banach respectivamente.



Hay muchas partes que si me han salido pero otras me he quedado encallado, os agradeceria mucho si me pudieseis ayudar con estas partes.

1. Para probar que \( L^{1}(\mu) \) es un espacio vectorial lo que he hecho es escribir el conjunto \( L_1 \)={f tal que f es integrable}={f tal que \( \displaystyle\int_{X}f^+ d\mu \) y \( \displaystyle\int_{X}f^- d\mu \) son finitas}
Y como en tal caso se escribe \( \displaystyle\int_{X}f d\mu \) = \( \displaystyle\int_{X}f^+ d\mu \) y \( \displaystyle\int_{X}f^- d\mu \),
pues he pensado coger \( {f,g,h}\in{}L^{1}(\mu) \) y \( \alpha \) real y ver que se cumplen la propiedad asociativa, la conmutativa, nuestro, opuesto y distributiva para ver que es espacio vectorial.

La duda que tengo con este apartado es que al probar las propiedades no se si tengo que usar las funciones integrables o sus integrales como tal.
Ademas no se donde hay que usar la condicion de que dos funciones \( f,g\in{L^{1}(\mu)} \) son iguales si \( f(x)=g(x) \) en casi todo punto.


2. La unica propiedad que no me sale para probar que es norma es la propiedad triangular


3.No se por donde cogerlo, si me pudierais ayudar os agradeceria mucho

saludos

4
Muy buenos dias, soy nuevo en el foro y el ejercicio con relación a este tema es el siguiente;

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida y sea \( L^{1}(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrables,
con el convenio de que dos funciones \( f,g\in{L^{1}(\mu)} \) son iguales si \( f(x)=g(x) \) en casi todo punto.


1. Probar que \( L^{1}(\mu) \) es un espacio vectorial

2. Probar que la expresion \( ||f||_1 \)=\( \displaystyle\int_{X}|f| d\mu \) define una norma en \( L^{1}(\mu) \)

3. Probar que si \( (X,M,\mu) \) es completo entonces (\( L^{1}(\mu), ||·||_1 \))  es un espacio de Banach.


Muchas gracias por adelantado

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