Hola
En un triángulo obtusángulo \( ABC \), obtuso en \( B \), se traza la ceviana interior \( BF \), tal que \( BAC=2BCA \) , \( FBC=90° \) , \( AC=24 \) y \( AB=10 \). Calcular \( AF \).
Una forma no muy elegante. En el tríangulo ABC por el teorema de los senos:
\( \dfrac{10}{sin(\gamma)}=\dfrac{24}{sin(180-3\gamma)} \)
Teniendo en cuenta que \( sin(180-3\gamma)=sin(3\gamma)=3sin(\gamma)-4sin^3(\gamma) \) y simplificando se obtiene que:
\( sin^2(\gamma)=\dfrac{3}{20},\qquad cos^2(\gamma)=\dfrac{17}{20} \)
Por otra parte en el triángulo \( AFB \) por el Teorema de los Senos:
\( \dfrac{10}{sin(90+\gamma)}=\dfrac{AF}{sin(90-3\gamma)} \)
\( \dfrac{10}{cos(\gamma)}=\dfrac{AF}{cos(3\gamma)} \) (*)
Usando que:
\( cos(3\gamma)=4cos^3(\gamma)-3cos(\gamma) \)
Sustituyendo en (*) y utilizando el valor de \( cos^2(\gamma) \) se concluye que \( AF=4 \).
Saludos.
