Probabilidad de tomar un numero natural al azar y que sea par.
Definamos una sucesión de subconjuntos de los naturales , que contengan todos los intervalos pertenecientes a los naturales que empiecen
con 1 , me explico.
\( I_1=[1,1]\cap\mathbb{N} \)
\( I_2=[1,2]\cap\mathbb{N} \)
\( I_3=[1,3]\cap\mathbb{N} \)
\( I_n=[1,n]\cap\mathbb{N} , \mbox{tal que} n\in\mathbb{N} \)
y claramente podemos verificar que \( I_\infty=\mathbb{N} \)
Luego definimos la probabilidad de que un n\numero natural sea par dado que
est\a'e en un intervalo , con un ejemplo se ve mejor
\( P(x\mbox{es par}|x\in I_1)=\frac{P(x\text{ es par}\cap
I_1)}{P(I_1)}=\frac{card\{\emptyset\}}{1}=0 \)
\( P(x \mbox{es par}|x\in I_2)=\frac{P(x\text{ es par}\cap
I_2)}{P(I_2)}=\frac{card\{2\}}{2}=\frac{1}{2} \)
\( P(x\mbox{es par}|$ $x\in I_3)=\frac{P(x\text{ es par}\cap
I_3)}{P(I_3)}=\frac{card\{2\}}{3}=\frac{1}{3} \)
\( P(x\mbox{es par}|$ $x\in I_4)=\frac{P(x\text{ es par}\cap
I_4)}{P(I_4)}=\frac{card\{2,4\}}{4}=\frac{2}{4} \)
\( P(x \mbox{es par}|$ $x\in I_5)=\frac{P(x\text{ es par}\cap
I_5)}{P(I_5)}=\frac{card\{2,4\}}{5}=\frac{2}{5} \)
\( P(x\mbox{es par}|x\in I_6)=\frac{P(x\text{ es par}\cap
I_6)}{P(I_6)}=\frac{card\{2,4,6\}}{6}=\frac{3}{6} \)
\( P(x\mbox{es par}|x\in I_7)=\frac{P(x\text{ es par}\cap
I_7)}{P(I_7)}=\frac{card\{2,4,6\}}{6}=\frac{3}{7} \)
Bueno , desde que \( n>3 \) se cumple que
\( \begin{aligned}[t]
&\{P(x\text{ es par}|\text{ }x\in
I_n)\}_{3<n\in\mathbb{N}}=\{\frac{2}{4},\frac{2}{5},\frac{3}{6},\frac{3}{7},%
...,\frac{\frac{n-1}{2}}{n-1},\frac{\frac{n-1}{2}}{n}\}
\end{aligned} \)
Debemos encontrar una sucesión para los numeros de las secuencias de
los numeradores
Debemos concentrarnos en una funcion que nos genere \( 2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7 \)
o sea\( f(4)=2,f(5)=2+0;f(6)=2+0+1;f(7)=2+0+1+0 \)
Por lo tanto , finalmete debemos concentrarnos en una sucesi\a'on mucho mas
fina y no evidente.
\( 0,1,0,1,0,1,0 \) la cual es una funcion periodica a la cual le podemos ajustar
una funcion trigonom\a'etrica.cuando \( n>4 \)
Le podemos ajustar una funcion \( g(n)=\frac{1}{2}\cos(\omega
n+\delta)+\frac{1}{2} \)
y luego resolvermos esl sistema de ecuacion ,para la frecuencia y la fase.
\( \frac{1}{2}\cos(5\omega+\delta)+\frac{1}{2}=0 \)
\( \frac{1}{2}\cos(6\omega+\delta)+\frac{1}{2}=1 \)
despues de ataque algebraicos obtenemos que :
\( \omega=-\pi \)
\( \delta=6\pi \)
por lo tanto la funcion periodica queda definida de la siguiente maneta
\( g(x)=\frac{1}{2}\cos(-\pi n+6\pi)+\frac{1}{2} \) , esta funcion va a
generar los \( 0,1,0,1,0... \)
Por lo tanto ahora podemos reemplazar
\( f(5)=2+0=2+g(5) \)
\( f(6)=2+0+1=2+g(5)+g(6) \)
\( f(n)=2+\sum_{k=5}^ng(k) \)
\( f(n)=2+\sum_{k=5}^n\left(\frac{1}{2}\cos(-\pi k+6\pi)+\frac{1}{2}\right) \)
Luego nos queda reemplazar
\( \begin{aligned}[t]
&\{P(x\text{ es par}|\text{ }x\in
I_n)\}_{3<n\in\mathbb{N}}=\{\frac{2}{4},\frac{2}{5},\frac{3}{6},\frac{3}{7},%
...,\frac{\frac{n-1}{2}}{n-1},\frac{\frac{n-1}{2}}{n}\}
\end{aligned} \)
\( \begin{aligned}[t]
&\{P(x\text{ es par}|\text{ }x\in
I_n)\}_{3<n\in\mathbb{N}}=\{\frac{2}{4},\frac{f(5)}{5},\frac{f(6)}{6},%
\frac{f(7)}{7},...,\frac{f(n)}{n},\}
\end{aligned} \)
\( \begin{aligned}[t]
&\{P(x\text{ es par}|\text{ }x\in
I_n)\}_{3<n\in\mathbb{N}}=\{\frac{2}{4},\frac{2+\sum_{k=5}^5\left(\frac{1}{2}%
\cos(-\pi
k+6\pi)+\frac{1}{2}\right)}{5},\frac{f(6)}{6},\frac{f(7)}{7},...,%
\frac{f(n-1)}{n-1},\frac{2+\sum_{k=5}^n\left(\frac{1}{2}\cos(-\pi
k+6\pi)+\frac{1}{2}\right)}{n}\}
\end{aligned} \)
Luego podemos verificar que:
\( P(x\mbox{es par}|x\in I_n)=
\begin{cases}
0&\text{si }n=0\\
\frac{1}{2}&\text{si }n=1\\
\frac{1}{3}&\text{si }n=3\\
\frac{2}{4}&\text{si}\,n=5\\
\frac{2+\sum_{k=5}^n\left(\frac{1}{2}\cos(-\pi
k+6\pi)+\frac{1}{2}\right)}{n}&\text{si }n>5
\end{cases} \)
y finalmente calculamos el \( \lim_{n\rightarrow\infty}P(x$ es par$|$ $x\in
I_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2+\sum_{k=5}^n\left(\frac{1}{2}\cos(-\pi
k+6\pi)+\frac{1}{2}\right)}{n} \)
\( P(x$ es par$|$
$x\in\mathbb{N})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2+\sum_{k=5}^n\left(%
\frac{1}{2}\cos(-\pi k+6\pi)+\frac{1}{2}\right)}{n} \)
intentemos simplificar \( \frac{2+\sum_{k=5}^n\left(\frac{1}{2}\cos(-\pi
k+6\pi)+\frac{1}{2}\right)}{n}=\frac{2}{n}+\frac{\sum_{k=5}^n\cos(-\pi
k+6\pi)}{2n}+\frac{1}{2} \)
Por lo tanto \( P(x$ es par$|$
$x\in\mathbb{N})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2+\sum_{k=5}^n\left(%
\frac{1}{2}\cos(-\pi k+6\pi)+\frac{1}{2}\right)}{n}=\frac{1}{2} \)
