[Luis Fuentes]

Hola

 Pensando, pensando en las cuestiones que se propusieron en:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=3940.msg15650;topicseen#new

he descubierto importantes lagunas en mis oxidados conocimientos sobre Teoría de la Probabilidad.

 Me pregunté lo siguiente: ¿cuál es la probabilidad de que un número natural elegido al azar sea par?. Respuesta intuitiva 1/2.

 Pero ¿es así?. Si lo es, ¿como se formaliza?. En otras palabras como se definine de manera rigurosa una aplicación de:

\( {\cal P}(\mathbb{N})\longrightarrow{} [0,1] \)                   ( \( {\cal P}(\mathbb{N}) \)  = partes de N )
que cumpla las propiedades que defininen una probabilidad (propiedades que no recuerdo con exactitud). ¿Es posible definirla sobre todo el conjunto de partes de N?. La idea intutiva que se me ocurre a mi es pareceida a la de darxer0x: ir aproximando la probabilidad intersecando con subconjuntos finitos de N cada vez mayores. Pero no veo claro si esto formalmente funciona bien.



Saludos.

[teeteto]

Una forma trivial que se me ocurre es la siguiente:

Consideramos una función \( f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}^{+} \) tal que \( \displaystyle{\sum_{n\in\mathbb{N}} f(n)=m<\infty} \) y entonces no hay más que definir, dado \( A\subseteq\mathbb{N} \) \( \displaystyle{p(A)=\frac{1}{m}\sum_{n\in A}f(n) \)

Por ejemplo, podemos considerar f\( (n)=\frac{1}{n^2}  \) y entonces según la notación anterior resulta \( m=\frac{\pi^2}{6} \). Entonces la probabilidad de los pares es: \( \displaystyle{p(par)=\frac{1}{m}\sum_{n=2k}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{m}\sum_{k\in\mathbb{N}}\frac{1}{4k^2}=\frac{1}{4} \)

Raro, ¿no? Usando este máetodo sólo habría que buscar una función sumable \( f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}^{+} \) tal que \( \displaystyle{\sum_{n\ \textrm{par}}f(n)=\frac{1}{2}\sum_{n\geq1}f(n)} \)
P.S.: Para la memoria de el_manco, http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityAxioms.html

[Luis Fuentes]

Hola

 De acuerdo . No es tan raro porque con tu función, todos los números NO son equiprobables. 

 Para estar en paz (al menos un poco) con la intuición sería deseable exigir que todos los números fuesen equiprobables. La única opción desde luego es que \( p(\{k\})=0 \) para cualquier número natural k. La pregunta es, ¿hay alguna manera de extender esto al conjunto de partes de N para que obtengamos una función de probabilidad?.

Saludos.

P.D. Opss no había visto tu enlace: gracias!!! ¿La propiedad 4 se refiere a una familia infinito numerable de conjuntos? Si es así apaga y vámonos, porque la equiprobabilidad que digo no es compatible con esta propiedad y con el hecho de que la probabilidad del total tenga que ser 1.

[teeteto]

No...la cuarta propiedad es para uniones arbitrarias, pero finitas... Así, tu equiprobabilidad obligaría a que todo conjunto finito tenga probabilidad 0, lo cuál es bastante razonable... el problema es extenderlo a conjuntos infinitos porque así las intersecciones con conjuntos finitos cada vez más grandes dejan de servir (todas las intersecciones serían de probabilidad nula y por tanto también su límite). Por otro lado sería lógico pedir, más en general que la probabilidad de los múltiplos de k fuera 1/k para todo natural k...

[Luis Fuentes]

Hola

 Ehhh.. supongo que si.. entonces se deduce de la tercera. Es que me mosquea que arriba a N le "deja" tomar el valor \( \infty \).

 La propiedad finita es la aditividad la infinita numerable la sigma aditividad.

 En algunos sitios que he visitado parace que exigen la propiedad infnita y en otros la finita. Pero no son muy rigurosos. Por esto tengo la duda de que es lo adecuado para una "buena" definición de probabilidad.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 La idea de aproximar por conjuntos finitos es la siguiente. Si consideramos los conjuntos

\(  X_n=\{1,2,...,n\} \)

 en ellos está claro como definimos una probabilidad. Basta tener en cuenta que cada elemento tiene probabilidad 1/n. Llamaremos a esa función de probabilididad p_n.

 Entonces en general dado \( A\subset N \) una primera idea sería definir:

\(  P(A)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow{} \infty} p_n(A\cap X_n) \)

 Esto da probabilidad para los pares 1/2, para los impares 1/2, para los múltiplos de k, 1/k. Podría parecer que tiene buena pinta. Sin embargo, este límite (creo) no tiene porque existir siempre. Se pueden construir ejemplos de conjuntos A para los cuales el límite no existe.

 Para arreglar esto uno podría tomar el límite inferior o el límite superior.

 En cualquiera de los dos casos, el problema está también en comprobar si se cumple la aditividad (la probabilidad de la unión de dos disjuntos es la suma de las probabilidades). Tengo mis dudas.

 Por último esta construcción tiene pinta de ser un caso particular de construciones más generales de una función como límite de otras.

Saludos.

 



 

 

[Luis Fuentes]

Hola

 Cuando el límite existe, creo que la aditividad si funciona. Para los límites inferior o superior parece que no.

 Como alternativa podemos intentar definir la probabilidad no en todos los subconjuntos de N sino en una determinada familia: precisamente aquellos donde el límite que definí antes exista. Habría que comprobar si esa familia es "buena" para una probabilidad. No recuerdo exactamente que había que pedirle: ¿qué fuese un álgebra o un sigma álgebra o algo asi?¿y eso qué era? 

Saludos.

[Mr_Fractal]

El problema aqui radica en el infinito que tanto preocupo a cantor, segun yo y a lo mejor me equivoco la respuesta esta en lo siguiente:

Teorema: no puede ser que la mitad de numeros naturales sea par y la otra mitad impar.

Demostracion: la cardinalidad de los pares y la de los impares es igual a la cardinalidad de N (los naturales) (esto es por que siempre existe una biyeccion con los numeros naturales, entonces los pares son numerables infinitos al igual que los impares y tienen la misma cardinalidad que N, osea el mismo numero de elementos) . Por este motivo no podemos decir que elegir al azar un par la probabilidad es de 1/2 por que la mitad no tiene sentido aqui, por que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad entre ellos y ademas tienen la misma cardinalidad que su union.

Mas formalmente la demostracion seria:

De la teoria de la medida sabemos que una probabilidad puede ser interpretada como un a medida sobre una sigmalgebra de subconjuntos de un espacio muestral, en nuestro caso N.

El tercer axioma de kolmogorov de probabilidad nos habla de la sigma-aditividad y es el siguiente

Cualquier secuencia contable de eventos disjuntos \( E_1, E_2, E_3, \cdots \) debe cumplir

\( $$P(E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap \cdots)=\sum P(E_i)$$ \)

el primer axima dice que \( P(\omega)=1 \) que nos dice que la probabilidad de encontrar un elemento en todo el espacio muestral es siempre 1.

Sea A el conjunto de los pares positivos y B el de los impares positivos dado que nuestro espacio muestral es N entonces \( P(x)  \) donde \( x \in N \) es \( P(x)=1 \), ademas \( P(A \cup B) = 1 \), esta medida de probabilidad supongamos que la definimos como\(  P(X)=\frac{m}{n} \) donde m es el numero de elementos en el espacio muestral y n el numero de elementos en el conjunto X. entonces \( P(A)=1 \) (puesto que tienen el mismo numero de elementos los naturales y los pares) y tambien \( P(B)=1 \) por la misma razon. Entonces \( P(A)+P(B)\neq P(A \cup B) \) que contradice al tercer axioma de kolmogorov. Por lo tanto la funcion \( P \) anteriormente definida no es una funcion de probabilidad, con lo cual el teorema queda demostrado.

Con lo anterior queda demostrado que no puede ser 1/2 por la manera en la que se elige la funcion de probabilidad, entonces habra que encontrar una mejor manera de definir nuestra medida de probabilidad para poder asignar un valor a la probabilidad de los impares o pares.

Creo que eso es todo, que opinan?

[Mr_Fractal]

disculpen me equivoque en lo anterior al definir \( P(X)=\frac{m}{n} \), quize decir que m es el numero de elementos en X y n el numero de elementos en el espacio muestral. pero la demostracion se mantiene. Espero no haberme equivocado, aunque creo que no es un problema trivial de atacar.

[Mr_Fractal]

bueno el teorema decia otra cosa de lo que al final demostre, pero pues la idea se entiende, disculpen mi informalismo en las demostraciones jeje mas bien la segunda parte es la demostracion de que la probabilidad no puede ser 1/2 segun el criterio antes mencionado...