[Michel]

Demostrar que en un triángulo ABC se verifica la relación 1/r=1/ha+1/hb+1/hc, siendo r el radio del círculo inscrito, h, h', h'' las alturas.

[Michel]

El área S del triángulo puede expresar de las siguientes formas:

S=a.h/2=b.h'/2=c.h''/2=p.r, siendo p el semiperímetro.

De estas expresiones se obtiene:

1/h=a/(2S);  1/h'=b/(2S);   1/h''=b/(2S); 1/r=p/S

Entonces: 1/h+1/h'+1/h''=a/(2S)+b/(2S)+b/(2S)=(a+b+c)/(2S)=2p/(2S)=p/S

Resulta:  1/h+1/h'+1/h'=1/r