[Michel]

En un triángulo ABC, A’ es el punto medio de BC.
Se prolonga AA’ hasta D, tal que A’D = AA’.
a) Demostrar que AD > AB + AC.
b) Sean BB’ y CC’ las medianas desde B y C, respectivamente. Demostrar que AA’ + BB’ + CC’ < AB +BC + CA.
c) Demostrar que AA'+BB'+CC'>(AB+BC+CA)/2

[Michel]

Es una aplicación de la desigualdad triangular.

a) ABCD es un paralelogramo por construcción.En el triángulo ABD: AD<AB+BD

Como BD=AC, resulta AD<AB+AC

b) La desigualdad anterior equivale a ésta: 2AA'<AB+AC

Aplicándola a las otras medianas: 2BB'<BC+AB,  2CC'<AC+BC

Sumando las tres desigualdades y simplificando: AA'+BA'+CC'<AB+BC+AC

c) En los triángulos AA’B, BB’C y  CC’A:

AA'+BB'>AB,  BB'+B'C>BC,  CC'+AC'>AC  ==>  AA'+BC/2>AB,  BB'+AC/2>BC,  CC'+AB/2>BC

Sumando: AA'+BB'+CC'>(AB+BC+AC)/2