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La integral (V)
Ejercicios resueltos

Lo dicho, vamos a practicar:

1) \( \displaystyle\int \dfrac{dx}{1+x^2}=\arctg(x)+C \)
Fácil, esa era directa. En el integrando está la derivada del arcotangente, luego su integral es el arcotangente mismo (+ una constante).

2) \( \displaystyle\int \dfrac{10dx}{1+x^2}=10\arctg(x)+C \)
Esa también era fácil, a mí no me despistan con el 10. Saco el 10 fuera, porque no es una función de x, e integro igual que antes.

3) \( \displaystyle\int xdx=\dfrac{2}{2}\displaystyle\int xdx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int 2xdx=\dfrac{x^2}{2}+C \)
x se parecía mucho a la derivada de \( x^2 \), le faltaba un 2. Así que se lo puse y se lo quité al mismo tiempo. Esta estrategia está genial aprendérsela, no sólo sirve para integrar, sino para todo esto de multiplicar por 1 de una manera ingeniosa . Pero lo mejor es aprenderse la tabla y aplicarlo directamente, así:
\( \displaystyle\int x^1dx=\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+C=\dfrac{x^2}{2}+C \)

4) \( \displaystyle\int \dfrac{4}{x^3}dx=\displaystyle\int 4x^{-3}dx=4\dfrac{x^{-2}}{-2}+C=\dfrac{-2}{x^2}+C \)
Más de lo mismo. Como siempre haré, recomiendo el uso de potencias en vez de raíces y fracciones, a la hora de derivar e integrar, salvo en el siguiente caso:

5) \( \displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=ln(x)+C \)
Sí, esa era directa también, pero es importante: Todas las potencias se integran vía formulilla de potencias, salvo el \( \dfrac{1}{x} \), que involucra al logaritmo (véase la tabla).

6) \( \displaystyle\int \cotg(x)dx=\displaystyle\int \dfrac{cos(x)}{sin(x)}dx=\displaystyle\int \dfrac{(sin(x))'}{sin(x)}dx=ln(sin(x))+C \)
Ya llegó la regla de la cadena. A partir de ahora, con pocas excepciones, habrá que usar la regla de la cadena para integrar. Es fundamental tener ojo para ver si hay una derivada multiplicando a la función que vamos a integrar, que en este caso era el coseno, derivada del seno. Véase la tabla, en la parte del logaritmo, para entender bien el uso de la regla de la cadena.
\( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=ln(f(x))+C \)
No tenéis que aprenderos las integrales de \( \dfrac{f'(x)}{f(x)} \) y de \( \dfrac{1}{x} \) por separado y gastar memoria tontamente. Razonadlo, entendedlo, y fijáos que esto mismo sucede para todas las integrales. Es la regla de la cadena.

7) \( \displaystyle\int xe^{x^2}dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int 2xe^{x^2}dx=\dfrac{e^{x^2}}{2}+C \)
Regla de la cadena, de nuevo. La función principal estaba claro que era la exponencial. La secundaria era el \( x^2 \). Me fijo si a su lado está su derivada, que es \( 2x \). No, no está, pero puede estar si lo multiplico por 2. Hago mi triquiñuela que ya os enseñé en el ejercicio 2, y obtengo mi querido \( 2x \), y ahora integro.

8) \( \displaystyle\int \sin(x)\cos(x)dx=\dfrac{\sin^2(x)}{2}+C \)
Hay una potencia (elevado a 1), y la derivada al lado (la derivada del seno, es el coseno). Función principal: Potencia. Función secundaria: seno. ¿La derivada está multiplicando? Sí, tal cual, es el coseno. Pues hala, a integrar usando la formulilla de la potencia, que sale en la tabla.
Podríamos haber considerado como función secundaria el coseno, y la potencia la engloba. Entonces la derivada sería el -seno, que no está (está el +seno), así que:
\( \displaystyle\int \sin(x)\cos(x)dx=-\displaystyle\int -\sin(x)\cos(x)dx=-\dfrac{\cos^2(x)}{2}+D \)
Así que multiplico por \( \dfrac{-1}{-1} \), o por -1 dos veces, e integro. He llamado a la constante D porque no tiene por qué ser la misma. ¿O sí? Igualo ambas expresiones, pues son la integral de la misma función:

\( \dfrac{\sin^2(x)}{2}+C=-\dfrac{\cos^2(x)}{2}+D\Longrightarrow{}\dfrac{\sin^2(x)}{2}+\dfrac{\cos^2(x)}{2}+C-D=0 \)
\( \dfrac{(\sin^2(x)+\cos^2(x))}{2}+C-D=\dfrac{1}{2}+C-D=0 \)
Así que esa es la relación entre las constantes de integración que debe cumplirse. No son la misma constante, no, pero están relacionadas por esa ecuación.

9) \( \displaystyle\int (4cos(x)e^{\sin(x)+1}+\dfrac{2e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}})dx \)
Jo jo jo jo...
Como siempre, discernimos: Tenemos dos funciones sumándose, así que podemos integrarlas por separado. Siempre se pueden integrar por separado, pero otra cosa es que seamos capaces de integrarlas por separado, a veces conviene más unirlas de algún modo, y luego integrar. En este caso, conviene hacerlo por separado.

Buscamos la función principal del primer sumando: es claramente la exponencial, que engloba al seno + 1 ese. \( \sin(x)+1 \) es, por tanto, la función secundaria. ¿Tenemos al lado la derivada de dicha función? Sí, la tenemos, es el coseno. Pues a integrarlo directamente.

Pasamos al segundo sumando, que el primero está resuelto. ¿Cuál es la función principal? Esa fracción con esa raíz. ¿Qué función más rara, no? Me suena a arcoseno. Sí, es la derivada del arcoseno. ¿Donde estaba la x en la derivada del arcoseno? Estaba junto al menos al cuadrado... entonces \( 1-e^{2x} \) es el \( 1-f(x)^2 \) que estoy buscando. Efectivamente, \( e^{2x}=(e^x)^2 \) (Potencia de una potencia). Entonces la función principal es esa fracción rara (la derivada del arcoseno), y la función secundaria es el \( e^x \). ¿Está la derivada de la función secundaria multiplicando? Sí, ahí arriba en el denominador. Pues a integrar directamente:

\( \displaystyle\int (4cos(x)e^{\sin(x)+1}+\dfrac{2e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}})=4e^{\sin(x)+1}+2\arcsen(e^x)+C \)
Qué maravilla...

10) \( \displaystyle\int \sin(x)\cos(x)e^{\sin^2(x)-1}dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int 2\sin(x)\cos(x)e^{\sin^2(x)-1}dx=\dfrac{e^{\sin^2(x)-1}}{2}+C \)
Aquí teníamos una especie de: \( \displaystyle\int F(g(h(x)))*g'(h(x))h'(x)dx \), donde \( F=e^x \), \( g=x^2 \), \( h=sin(x) \). No teníamos función principal y secundaria, sino principal, secundaria, y terciaria. La primaria engloba a la secundaria, y la secundaria a la terciaria. Queríamos integrarlo, así que debía estar la función principal y la derivada de lo de dentro multiplicando. Derivamos con la regla de la cadena hasta el final (Si uno no sabe, a repasar derivadas) y se llega a:
\( (\sin^2(x)-1)'=2\sin(x)*(\cos(x)) \)
Así que en la integral falta un 2. Se lo ponemos, y ea. A integrar.

Más ejercicios resueltos y propuestos

Si el link fallara, que se avise vía hilo de consultas y sugerencias del curso, y daré más ejemplos de mi cosecha o de otra página.

No sé si esto ha sido difícil para ti. Probablemente sí, y lo es al principio, pero debes cogerle mucha práctica, mucha, mucha. Y esto se hace resolviendo todos los ejercicios que salen en esa página y los 10 que he puesto (Y todos cuantos puedas hacer. Si después de estos, quisieras más, me lo dices vía hilo de consultas y sugerencias y añado más).
Y digo que tienes que dominar estos ejercicios, simplemente porque estas integrales se llaman integrales inmediatas 

Entonces... si esto era supuestamente inmediato... (y debieras aprender a hacer todas estas integrales inmediatamente, sin pasos intermedios)... ¿cómo serán las integrales no inmediatas?

Pues puede que incluso más fácil. Lo difícil es sacar estas, las otras las aprenderemos en este curso más adelante. Y sí, las otras son más fáciles.

Antes de dar por finalizado el tema de la integral (ya digo, próximamente lo completaré con algunas tecniquillas de integración, que ya serían temario de selectividad), daré otro truquito más:

\( \displaystyle\int \dfrac{dx}{1+5x^2} \)
Cualquiera diría que el integrando se parece mucho a la derivada del arcotangente. Pero hay un 5 que molesta mucho. Vamos a forzarle a entrar dentro del cuadrado, que es donde nos gustaría que estuviera:
\( \displaystyle\int \dfrac{dx}{1+5x^2}=\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+(\sqrt{5}x)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\displaystyle\int \dfrac{\sqrt{5}dx}{1+(\sqrt{5}x)^2}=\dfrac{\arctg(\sqrt{5}x)}{\sqrt{5}}+C \)
je je je
Otro truquito más:
\( \displaystyle\int \dfrac{x^2dx}{2+x^6} \)
Cualquiera diría que el integrando se parece mucho a la derivada del arcotangente... bueno, no, no cualquiera. Os confieso un secreto: Mis integrales favoritas son las del arcotangente y las del logaritmo neperiano. ¿Por qué?
\( \displaystyle\int \dfrac{x^2dx}{2+x^6}=\displaystyle\int \dfrac{\frac{x^2}{2}dx}{1+\frac{x^6}{2}} \)
Divido numerador y denominador por 2.
\( \displaystyle\int \dfrac{\frac{x^2}{2}dx}{1+\frac{x^6}{2}}=\displaystyle\int \dfrac{\frac{x^2}{2}dx}{1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2} \)
Me ingenio un cuadrado ahí, a la manera del anterior truquito.
\( \displaystyle\int \dfrac{\frac{x^2}{2}dx}{1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{3*2}\displaystyle\int \dfrac{\frac{3x^2}{\sqrt{2}}dx}{1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2} \)
Saco el dos del numerador que me molesta, y le meto un raíz de 2 y un 3, que son la derivada de lo que hay en el cuadrado. Y ea, a integrar:
\( \dfrac{\sqrt{2}}{3*2}\displaystyle\int \dfrac{\frac{3x^2}{\sqrt{2}}dx}{1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2}=\dfrac{\sqrt{2}\arctg(\frac{x^3}{\sqrt{2}})}{6}+C \)
Y voilà.
Casi se me olvida poner la C. ¡Que no se os olvide!

Y con esto, ahora sí, termino el tema de integración (por ahora) y comienzo el de selectividad propiamente dicho, que son pura aplicación de estos dos temas, la derivada y la integral. Ya veréis que todo lo que viene a continuación es facilísimo si habéis entendido bien qué es integrar y qué es derivar (no me refiero a cómo se hace, sino qué es).

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El temario de selectividad

Empezamos con el temario de selectividad en sí mismo.

- En primer lugar daremos análisis de la continuidad de las funciones reales en una variable real, acto seguido su derivabilidad y su segunda-derivabilidad, veremos que todo se hace igual. Luego analizaremos la función en sí (puntos de corte, crecimiento y decrecimiento, máximos, mínimos, su clasificación, puntos de inflexión, concavidad, asíntotas y poco más).

- A continuación, ya que estamos en racha con esto de las funciones, resolveremos límites, y os enseñaré la regla de L'Hôpital.

- Después os daré varias técnicas para integrar cosas como \( \displaystyle\int xe^xdx \) (integración por partes se llama la técnica a usar), o \( \displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2-1} \) (integración de funciones racionales, sería la técnica a usar). Os enseñaré a usar cambios de variable, y el temario de selectividad no da para más.

- Luego os enseñaré a resolver sistemas de ecuaciones. Sí, lo de secundaria. Pero vía matrices (método de Cramer y método de Gauss). Y también a ver si tienen soluciones, si no la tienen, o si tienen infinitas soluciones antes, incluso, de resolver el sistema (Teorema de Rouché-Frobenius). Naturalmente, os enseñaré qué es una matriz y a juguetear con matrices y resolver ecuaciones matriciales.

- Por último, geometría. Os enseñaré la ecuación de la recta bidimensional y tridimensional, del plano (tridimensional), y calcularemos distancias y puntos de corte, y la situación relativa entre una recta y un plano (es decir, la respuesta a: ¿Se cortan, son paralelos, o la recta está contenida en el plano?).

Parece extenso, pero si la derivada me ocupó 2 posts de explicación, el primer párrafo me ocupará unos 4 posts de explicación. El segundo, un post de explicación. El tercero, 3 posts de explicación. El 4º creo que 5 posts, no por nada, sino porque trabajar con matrices es tedioso y largo, aunque es muy simple, ya veréis, es siempre lo mismo. El último, serán 2 ó 3 posts de explicación.

La razón es que la derivada en sí es un concepto que hay que entender bien para entender lo demás. Yo daré por supuesto que entendéis la derivada, y si es así, el resto lo veréis evidente Así que, aunque "sepáis derivar", os recomiendo que os leáis los capítulos anteriores. Y si alguno se cree que sabe integrar, que haga los ejercicios resueltos y propuestos. Si no sabe hacerlos, que practique.

Y ahora sí que sí, empieza el temario de selectividad.

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Análisis de funciones


Antes de empezar, os recomiendo que os instaléis el Graph. Este programa lo descubrí en secundaria, y desde entonces me enamoré. Es un graficador muy simple: Escribes la función, y te la pinta. Además, te permite marcar puntos, muchos colores, evaluar la función y su derivada y su segunda derivada... muchas cosas, y todo muy simple. Y además, es libre y gratuito.

Con él, o si no lo tenéis, como sea, graficad las siguientes funciones: \( \dfrac{x+1}{x+1},1,x^2,(x+2)^2,(x+3)^2,(x+4)^2,(x-4)^2,x^2+1,x^2+3,x^3,x^4,x^5,x^6,\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{x^2},\dfrac{x^2+1}{x+1},e^x,e^{-x},e^{-x}\cos(x),xe^{-x},x^2e^{-x},\sin(x),\cos(x),\tan(x),ln(x),\sqrt(x) \)
Y tooodas las funciones que se os vayan ocurriendo. ¡¡¡Es divertidísimo, ya veréis!!! (O al menos, para mí lo es) ¡Y así os acostumbráis a imaginar las funciones antes de analizarlas, que resulta muy, muy útil!

Y una vez que estéis acostumbrados a "la forma típica" de las funciones, vamos a analizarlas.
Tomaré como ejemplo: \( y=xe^{-x} \)

Puntos de corte
Es sencillo preguntarle a la función dónde corta con el eje x y con el eje y. La coordenada y de los puntos (x,y) de corte del eje x vale 0, pues el eje x está en la recta en la que y vale 0. Le preguntamos a la función: ¡Eh, tú! ¿cuándo logras que tu y valga 0? Y te responde.
\( y=xe^{-x} \)
\( y=0\Longrightarrow{}(xe^{-x})=0 \)
Es un producto. ¿Cuándo vale un producto 0? Cuando uno de los dos factores es 0. ¿Puede \( e^{-x} \) hacerse 0? Si hubierais sido buenos y me hubierais hecho caso, al pintar \( e^{-x} \) pudisteis ver que nunca vale 0. Nunca, al elevar un número al cuadrado, al cubo, al cero, o a números negativos, te va a dar 0. Así que \( e^{-x} \) no puede hacerse 0, por lo que el producto valdrá 0 solamente cuando x valga 0.
Ya lo tenemos: Punto de corte con el eje x: (0,0)
Siempre se hace igual: ¿Cuándo la y vale 0? Donde hay y pones 0, y despejas la(s) x.
Punto de corte con el eje y: Su principal característica es que ahora es la x la que debe valer 0, pues cuando la x vale 0, el punto está situado en el eje y. Naturalmente, sólo puede haber 1, ya que si hubiera 2 puntos de corte con el eje y, ya no sería función (dos valores en un mismo punto). Preguntémosle a la función: ¡Eh, tú! ¿Cuándo tu x vale 0? Y te responde:
\( y=xe^{-x} \)
\( x=0\Longrightarrow{}y=0 \)
Evidentemente, ya lo sabíamos de antemano: en x=0, la función pasa por y=0.

Ilustración

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Continuidad
¿Qué es continuidad? Significa que, si la pintas, no tienes que levantar el lápiz para pintarla. Ni un poquito. Si en ese intervalo no tienes que levantarlo en absoluto, entonces en ese intervalo es continua.
Para que una función cumpla eso, si te acercas por la izquierda recorriendo la función, y te acercas por la derecha, el valor al que llegas debe coincidir, evidentemente. Y además, ese valor debe ser el que de verdad tiene la función.
Dicho de otra forma, para que una función sea continua en un punto \( a \), se deben cumplir las dos condiciones siguientes:
1) \( \displaystyle\lim_{x \to{a^+}}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{a^-}}{f(x)}=L \)
Entonces se dice que la función tiene límite cuando x tiende a \( a \), es decir:
\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L \)
Por \( \displaystyle\lim_{x \to{a^+}}{f(x)} \) me refiero al límite cuando x tiende a \( a \) por la derecha, desde la parte de la derecha en la gráfica. Con el negativo me refiero a que x tiende por la izquierda hacia \( a \).
2) \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=f(a) \)
La imagen de la función en el punto debe coincidir con el límite de la función en el punto.
Realmente, la primera condición es la condición para que el límite exista. Y la segunda, ahora así, es la de continuidad: Si existe el límite en el punto, debe coincidir con el valor del mismo que le otorga la función.

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Entonces:
\( y=\dfrac{x+1}{x+1} \) Es continua en todo \( \mathbb{R} \) salvo en x=-1, que tiene un puntito en el que vale \( \dfrac{0}{0} \), valor indefinido.
\( y=\left |{x}\right | \) sí es continua (en el Graph se escribe abs(x)) en todo \( \mathbb{R} \). El punto más raro es el 0, pero si te acercas por la izquierda y por la derecha, llegas al mismo sitio: el (0,0), que pertenece a la función en sí misma.
\( \dfrac{1}{x} \) Es continua en todo \( \mathbb{R} \)salvo en x=0, en la que, de nuevo, no está definida (\( \dfrac{1}{0} \)). Además, si te acercas por la derecha y por la izquierda, los valores no coinciden (\( +\infty,-\infty \))
\( \dfrac{1}{x^2} \) Es continua en todo \( \mathbb{R} \) salvo en x=0, en la que, de nuevo, no está definida (\( \dfrac{1}{0} \)). Si te acercas por derecha e izquierda al x=0, te acercas al mismo valor. Y sin embargo, en x=0 no existe imagen.

Si un trocito de función continua (un cablecillo), lo sumas, o lo multiplicas, por otro trocito de función continua (otro cablecillo), el resultado no va a ser un conjunto de puntos dispersos, ni un cable cortado. Dicho de otra forma, si sumas funciones que en un intervalo son continuas, o las multiplicas entre sí, el resultado es otra función que también es continua.

Entonces, volviendo al ejemplo, \( y=xe^{-x} \) está formado por el producto de dos funciones continuas en todo \( \mathbb{R} \), por lo que también será continua en todo \( \mathbb{R} \).

Otro ejemplo muy típico:
\( f(x)=\left\{\begin{matrix} (x+1)^2 & \mbox{ si }& x<0\\x & \mbox{si}& x\geq{}0\end{matrix}\right. \)
Ambas funciones, por separado, son continuas en todo \( \mathbb{R} \). ¿Pero esta función lo es? Cuando x vale menor que 0, vale lo mismo que \( x^2 \), así que en x<0 será continua. Lo mismo ocurre cuando es mayor que 0, pero vale lo mismo que x. ¿Y en x=0? ¿Es continua?

Spoiler

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Aplicamos la definición:
1) \( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{f(x)}=0 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{f(x)}=(0+1)^2=1 \)
\( 1\neq{}0\Longrightarrow{}\not\exists }\displaystyle\lim_{x \to{0}}{f(x)} \)
Y al no cumplirse la primera condición, la función no es continua en 0, pero sí en el resto de puntos de \( \mathbb{R} \)
Si lo hubiéramos hecho con esta función:
\( f(x)=\left\{\begin{matrix} (x+1)^2 & \mbox{ si }& x<0\\x+1 & \mbox{si}& x>0\end{matrix}\right. \)
1) \( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{f(x)}=0+1=1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{f(x)}=(0+1)^2=1\longrightarrow{}1=1\Longrightarrow{}\exists }\displaystyle\lim_{x \to{0}}{f(x)} \)
2) No podemos aplicarla, porque en 0 no tiene imagen la función (fíjate en cómo está definida la función).
Si la función fuera:
\( f(x)=\left\{\begin{matrix} (x+1)^2 & \mbox{ si }& x\leq{}0\\x+1 & \mbox{si}& x>0\end{matrix}\right. \)
Entonces sí, sí podríamos aplicarla:
\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{f(x)}=f(0)=1 \)
Y la función sí sería continua.

Spoiler

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Podéis practicar con los siguientes ejercicios. Si tenéis dudas, decidlo:
1) \( y=\dfrac{x^2-4}{(x+2)(x-2)} \)
2) \( y=\dfrac{x+5}{x^2+x+1} \)
3) \( y=\dfrac{x-1}{x^2-3x+2} \)
4) \( y=\dfrac{\left |{x}\right |}{x+1} \)
5) \( f(x)=\left\{\begin{matrix} e^x & \mbox{ si }& x<2\\(x-2)^2-e^{2x-4}e^{2} & \mbox{si}& x\geq{}2\end{matrix}\right. \)
6) \( f(x)=\left\{\begin{matrix} sin(x) & \mbox{ si }& x<0\\x(x^2+1) & \mbox{si}& x\geq{}0\end{matrix}\right. \)
Practicad puntos de corte y continuidad.

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Análisis de funciones (II)

Derivabilidad

En principio, uno puede pensar que podemos derivar todas las funciones, dicho de otra forma, que podemos calcular el valor de su derivada en cualquier punto. Y en principio, ¿por qué no iba a ser así?

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Pues en la función \( y=\left |{x}\right | \) no sucede así. Podemos derivarla a la derecha de 0, y se ve claro que se comporta como \( y=x \), y su derivada será 1. Y podemos derivarla a la izquierda de 0, y se ve claro que se comporta como \( y=-x \) y su derivada valdrá -1. De hecho, la función \( y=\left |{x}\right | \) se puede expresar de una forma más conveniente, así:
\( f(x)=\begin{Bmatrix} x & \mbox{ si }& x>0\\-x & \mbox{si}& x\leq{}0\end{matrix} \)
Esta es una función definida a trozos, y las funciones a trozos son las que, con más probabilidad, encontremos que un punto no es continuo, o también, no sea derivable: el punto de unión. No necesariamente tiene por qué ser así, pero sólo digo que es probable.

¿Qué es la derivabilidad? Que una función sea derivable en un punto significa que su derivada existe y tiene un valor único. Por ejemplo, ¿cuál piensas que es la derivada del valor absoluto de x, en el punto \( x=0 \)?

\( f'(x)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& x>0\\-1 & \mbox{si}& x<0\end{matrix} \)
Si derivas la anterior función, esta es la derivada que encontramos. ¿Pero qué sucede en x=0? ¿La derivada vale 1, -1... la media aritmética, que da 0? No, no vale nada, no tiene valor. La función no es derivable en x=0.

Podemos sacar como conclusión que una función será derivable en cierto punto \( a \) cuando cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:
1) La función es continua en ese punto.
2) \( \displaystyle\lim_{x \to{a^-}}{f'(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{a^+}}{f'(x)} \)
Y entonces, podremos decir que el límite existe, y concluir que la función es derivable en \( a \), y que el valor de su derivada en ese punto es único, y vale:
\( f'(a)=\displaystyle\lim_{x \to{a}}{f'(x)} \)

Y ya está. Se parece muchísimo a la continuidad. Vamos a practicar haciendo unos cuantos ejemplos:

\( f(x)=\begin{Bmatrix} e^{-x} & \mbox{ si }& x<0\\1-x & \mbox{si}& x\geq{}0\end{matrix} \)

Comprobemos su derivabilidad. Primero hay que ver dónde es continua:

-Como \( e^{-x} \) es continua y derivable en todo \( \mathbb{R} \), también lo será cuando \( x<0 \), y por tanto f(x) es continua y derivable en \( x<0 \).
-El mismo razonamiento aplica a la función lineal \( 1-x \), pues es siempre continua y derivable en todo \( \mathbb{R} \), así que también lo será en \( x>0 \), así que la función f(x) será continua y derivable en \( x>0 \).

Y ahora la gran pregunta: ¿Qué sucede en x=0? ¿Es continua? Y si es continua... ¿Será también derivable? Comprobemos primero la continuidad:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{e^{-x}}=e^{-0}=1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{1-x}=1-0=1 \)
\( f(0)=1-0=1 \)

Coinciden todos los valores. Es continua en \( x=0 \). Así que se cumple la primera condición para la derivabilidad, que sea continua. Vamos a por la segunda:

\( f'(x)=\begin{Bmatrix} -e^{-x} & \mbox{ si }& x<0\\-1 & \mbox{si}& x>0\end{matrix} \)
No pongo ningún \( \leq{},\geq{} \) porque aun no sé si será derivable en 0 y, por tanto, si existirá la derivada ahí. Lo compruebocon la segunda condición:
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{f'(x)}=-e^{-0}=-1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{f'(x)}=-1 \)

¡Y sí, sí se cumple! Entonces la función es derivable en 0. Ya le puedo poner el mayor o igual (o el menor o igual):
\( f'(x)=\begin{Bmatrix} -e^{-x} & \mbox{ si }& x<0\\-1 & \mbox{si}& x\geq{}0\end{matrix} \)
Y como es derivable en 0, y ya comprobamos que lo era en el resto de valores, la función es derivable en todo \( \mathbb{R} \).

Ilustración

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¡¡¡Qué bien!!! Vamos a por otro ejemplo, a ver si también es derivable en todo \( \mathbb{R} \):

\( f(x)=\begin{Bmatrix} \dfrac{x}{\sqrt{5}+x} & \mbox{ si }& x\leq{}0\\ \sin(x) & \mbox{si}& x>0\end{matrix} \)
Primero, comprobamos la continuidad:

- En \( x\leq{}0 \), la función es racional, \( \dfrac{x}{\sqrt{5}+x} \), y será continua y derivable siempre que no se anula el denominador. Preguntémosle: ¡Eh, tú! ¿Cuándo se te anula el denominador? Y nos responde:
\( \sqrt{5}+x=0\longrightarrow{}x=-\sqrt{5} \)
Y como el \( -\sqrt{5} \) está dentro de su intervalo de definición, \( -\sqrt{5}\in{}(-\infty,0] \), entonces podemos decir que la función es continua en: \( (-\infty,-\sqrt{5})\cup{}(-\sqrt{5},0) \)
Donde no he cerrado el paréntesis del 0 porque no sé si por la derecha es continua.
- En \( x>0 \) la función es un seno, y el seno siempre es continuo y derivable.
Así que por ahora tenemos asegurada la continuidad y derivabilidad en: \( \mathbb{R}-{-\sqrt{5},0} \).

En \( x=-\sqrt{5} \) ya sabemos que no es continua (y por tanto, no derivable), ¿qué sucederá en \( x=0 \)? Comprobemos su continuidad:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{f(x)}=\dfrac{0}{5-0}=0\equiv{}f(0) \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{f'(x)}=\sin(0)=0 \)
¡Los tres valores son iguales! Entonces la función es continua en \( \mathbb{R}-{-\sqrt{5}} \)

¿Será también derivable en \( x=0 \)? Comprobemos la segunda condición:

\( f'(x)=\begin{Bmatrix} \dfrac{5}{(x+\sqrt{5})^2} & \mbox{ si }& x<0\\ \cos(x) & \mbox{si}& x>0\end{matrix} \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{f'(x)}=\dfrac{5}{(0+\sqrt{5})^2}=1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{f'(x)}=\cos(0)=1 \)

jejeje ¡¡¡nos ha vuelto a salir derivable!!! Así que la función es derivable en \( \mathbb{R}-{-\sqrt{5}} \)

¿Qué hubiera sucedido si en vez de \( \sin(x) \) hubiera sido \( x^2 \)?

Hubiera seguido siendo continua en \( \mathbb{R}-{5} \), ¿pero qué sucede con la derivabilidad?

\( f'(x)=\begin{Bmatrix} \dfrac{5}{(x+5)^2} & \mbox{ si }& x<0\\ 2x & \mbox{si}& x>0\end{matrix} \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{f'(x)}=\dfrac{5}{(0+\sqrt{5})^2}=1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{f'(x)}=2*0=0 \)

Oooooh, ¡ya no es derivable en 0 porque no se cumple la segunda condición! Vaya, qué lástima...
Entonces la función sería continua en \( \mathbb{R}-{-\sqrt{5}} \) y derivable en \( \mathbb{R}-{-\sqrt{5},0} \).

Ilustración

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Y todo es igual. Comprobamos continuidad, y para los puntos que sean continuos y no estemos seguros de su derivabilidad (como en los cambios en las funciones a trozos), comprobamos vía segunda condición (la de los límites, como hemos estado haciendo).

A continuación, os propongo muchos ejercicios de derivabilidad, además de los que os podéis encontrar en la web, como este, este, y este:

1) \( f(x)=\begin{Bmatrix} \cos(x) & \mbox{ si }& x<\dfrac{\pi}{2}\\ \sin(x+\dfrac{\pi}{2}) & \mbox{si}& x\geq{}\dfrac{\pi}{2}\end{matrix} \)

2) \( f(x)=\begin{Bmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{x+5}} & \mbox{ si }& x<4\\ \dfrac{x}{3} & \mbox{si}& x\leq{}1\end{matrix} \)

3) \( f(x)=\begin{Bmatrix} \dfrac{log(x)}{x-5} & \mbox{ si }& x<0\\\left |{x-3}\right | & \mbox{si}& x\geq{}0\end{matrix} \)

Si tenéis cualquier duda, ya sabéis dónde me tenéis para preguntar.

[Piockñec]

Análisis de funciones (III)

Asíntotas

¿Qué es una asíntota? Es una recta a la que tiende la función cuando x tiende a infinito, o cuando y tiende a infinito.

Mucho he oido hablar acerca de... "Las asíntotas son rectas a las que tiende la función sin tocarlas", y es falso. Voy a poner varios ejemplos de asíntotas:

\( y=\dfrac{1}{x} \)

Asíntota vertical en x=0

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\( y=e^{-x} \)

Asíntota horizontal en y=0

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\( y=10*\sin(10*x)*e^{-x} \)

Asíntota horizontal en y=0

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\( y=\dfrac{x^2-1}{x+1} \)

Asíntota oblicua en y=x-1

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El nombre de asíntota vertical, horizontal, y oblicua, depende de la forma de la recta que la expresa: rectas verticales (\( x=a \)) rectas horizontales (\( y=b \)), o rectas oblicuas (\( y=mx+n \)).

¿Cómo saber si tenemos asíntotas?

Asíntotas verticales: Cuando tenemos una indeterminación del tipo \( f(a)=\dfrac{k}{0} \), siendo k un número cualquiera distinto de 0, entonces en x=a hay una asíntota. Cuando la indeterminación es del tipo \( f(a)=\dfrac{0}{0} \), no podemos saber si hay asíntota de antemano, pero si aplicamos la regla de L' Hôpital (la veremos próximamente), podremos saber si la hay o no.

Asíntotas horizontales: Tendremos una asíntota horizontal si hacemos el límite cuando x tiende a infinito de una función, y nos da un número:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=k \), siendo k un número cualquiera, incluido el 0.
Entonces decimos que hay una asíntota horizontal, cuando x tiende a +infinito, en y=k.
Podemos tener más asíntotas horizontales: En el límite en el que x tiende a -infinito. Así que en total podemos tener hasta 2 asíntotas horizontales en una función, una para cada lado.

Asíntotas oblicuas: Si al calcular las asíntotas horizontales, en uno de los límites obtenemos \( +\infty \) ó \( -\infty \), entonces es posible que tengamos asíntotas oblicuas. La forma de calcularla es la siguiente:
Ecuación de la recta (de la asíntota oblicua)
\( y=mx+n \)

\( m=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\dfrac{f(x)}{x}} \)

\( n=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{f(x)-mx} \)

Decir estas cosas así tan de repente quizá os choque (no es el estilo que llevamos hasta ahora), pero creo que se comprende mejor con ejercicios, así que en la próxima sección nos encargaremos de buscar asíntotas. Al final os daré una idea del sentido de las formulillas de los límites (el por qué se calculan así).

Empezamos analizando esta función:
\( y=\dfrac{x^2+1}{x^2-2x+1} \)

Asíntotas verticales: ¿Cuándo se anula el denominador? Se lo preguntamos. ¡Eh, tú! ¿Cuándo se te anula el denominador? Y nos responde:
\( x^2-2x+1=0\longrightarrow{}x=\dfrac{2\pm{}\sqrt{4-4}}{2}=1 \)
Así que en x=1 tenemos una asíntota vertical. ¿Cómo se comportará la función en torno a la asíntota? Es decir, ¿la función se disparará a \( \infty \), o a \( -\infty \)? Para eso, hacemos el límite cuando x tiende a la asíntota, por la izquierda y por la derecha, y vemos a qué valor tiende la función. Para ello, aunque no es muy matemático, lo más fácil es sustituir un número que se acerque a 1 por la izquierda, como el 0.9999:
\( f(0.9999)=199980001 \)
que se parece mucho a infinito. Así que por la izquierda la función se dispara a infinito. ¿Y por la derecha?
\( f(1.0001)=200020001 \)
También se dispara a infinito por la derecha.

Asíntotas horizontales: ¿Tiende la función a algún valor finito en el infinito? Se lo preguntamos:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=\dfrac{\infty^2+1}{\infty^2-2\infty+1}=\dfrac{\infty}{\infty-\infty}=...=\dfrac{1}{1}=1 \)
Donde en el punto suspensivo... he usado un truquito. Mirad la sección de límites y aprenderéis a resolverlos... aunque esa sección será la próxima que haga!!! jajaja Por ahora, confía en mí en que el límite da eso.
Entonces, tenemos asíntota horizontal en \( +\infty \). ¿Y en \( -\infty \)?
\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=\dfrac{(-\infty)^2+1}{(-\infty)^2+2\infty+1}=\dfrac{\infty}{\infty}=...=\dfrac{1}{1}=1 \)
jejeje ¡otra vez usé el truquito!

Asíntotas oblicuas: Como la función ya tiene asíntotas horizontales tanto en \( +\infty \) como en \( -\infty \), no puede tener asíntotas oblicuas.

Os animo a que esbocéis la función más o menos como pensáis que es, y luego la pintéis en el graph, a ver si lo habéis conseguido. Tened en cuenta que la función "aparecerá" desde la izquierda valiendo 1 casi constantemente, y que "desaparecerá" por la derecha valiendo 1 casi constantemente, y que por en medio en x=1 se disparará hacia infinito, tanto a la izquierda de 1 como a su derecha.

Ahora analicemos esta función:

\( \dfrac{x^2+4}{x+2} \)

Asíntotas verticales: ¿Cuándo se anula el denominador? Cuando x vale -2, se ve a simple vista. Así que ahí hay asíntota. ¿Cómo se comportará la función? Si uno coge la calculadorita y pone
\( f((-2)^-)=f(-(2^+))\approx{}f(-2.0001)=-80004.0001 \), que se parece a \( -\infty \).
Por la derecha, más de lo mismo:
\( f((-2)^+)=f(-(2^-))\approx{}f(-1.999)=7996.001 \), que se parece a \( +\infty \). Si no creéis que se parece, coged el -1.999999, por si acaso de repente tiende a los negativos (que no lo hará).

Asíntotas horizontales:
Si hago \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=+\infty \), y eso lo sé porque sé resolver límites (ved la sección de límites).
\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=-\infty \), así que no hay asíntotas horizontales ni por la derecha ni por la izquierda. ¿Y oblicuas?

Asíntotas oblicuas:
Empezos con el comportamiento de la función en \( +\infty \):
\( y=mx+n \)

\( m=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{f(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{x^2+4}{x^2+2x}}=1 \)

\( n=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)-mx}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{x^2+4}{x+2}-x=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{x^2+4-x(x+2)}{x+2}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{x^2+4-x^2-2x)}{x+2}=\dfrac{-2}{1}=-2 \)

Por tanto, la asíntota oblicua es:

\( y=x-2 \)

¡Pero eso sólamente cuando x tiende a + infinito! ¿Qué sucede cuando x tiende a - infinito? Comprobadlo vosotros. Dará que la asíntota oblicua es la misma.
¡Esto es casualidad! Que no sirva de precedente. Es posible que una función tenga una asíntota oblicua por la derecha, y otra bien distinta por la izquierda, así que no os confiéis tan a la ligera.

Y con esto terminamos el tema de las asíntotas. Ahora veremos límites, y a continuación, análisis de los crecimientos y decrecimientos de la función, máximos y mínimos.

Truco final: ¿Sabéis dividir polinomios? Dividid \( x^2+4 \) entre \( x+2 \), y fijaos en que el cociente coincide con la ecuación de la asíntota oblicua. ¿Casualidad? Esta vez no En funciones racionales, podéis calcular la asíntota oblicua así. Es un truquito. En otras funciones que no sean racionales y tengan asíntota oblicua, en general esto no vale.

El por qué de las fórmulas de la asíntota oblicua

Suponed que f(x) tiene una forma arbitraria, aleatoria, se mueve como quiere, para arriba, para abajo, con discontinuidades... como quiere. Y de repente, en algún punto, la función se comporta como una recta, y se mantiene así hasta el infinito. Comportarse como una recta es crecer, o decrecer, constantemente (o casi, casi constantemente, o aún mejor, la variación de su crecimiento tiende a 0 conforme x tiende a infinito). Pues si es así, si la función se puede aproximar por una recta en el infinito...

\( f(x)\approx{}y=mx+n, x\rightarrow{}\infty \)

Y para saber su pendiente, dividimos la recta por x, ya que:

\( M=\dfrac{mx+n}{x}=m+\dfrac{n}{x} \), y como esta función lineal es clavadita a la función original f(x) en el infinito, resulta que la pendiente de la asíntota es:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{y}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{m+\dfrac{n}{x}=m=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{f(x)}{x}} \), ya que en el infinito, \( f(x)=y=mx+n \)

¿Y qué sucede con la formulita de la ordenada en el origen? Más de lo mismo:
Si a \( y=mx+n \) le quitamos el mx, se nos queda el n. Lógico. Pues en el infinito, como y es clavadita a f(x), vamos a quitarle a f(x) el mx, y así se nos queda el n:

\( n=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{f(x)-mx} \)

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[Piockñec]

Análisis de funciones (IV)

Puntos críticos // Máximos y mínimos // Crecimiento y decrecimiento


Ahora vamos a estudiar qué son los máximos y los mínimos.

Un máximo local es un punto en el cual la función deja de crecer, y empieza a decrecer.
Un mínimo local es un punto en el cual la función deja de decrecer, y rempieza a crecer.

A su vez, el valor máximo que puede alcanzar una función para un conjunto determinado de x, se le llama máximo global.
Y el valor mínimo que puede alcanzar una función para un conjunto determinado de x, se le llama mínimo global.

Por ejemplo, en la siguiente imagen, tenemos un máximo local y un mínimo local. Y sin embargo, aunque son máximos y mínimos, no son máximo global ni mínimo global, porque no son el valor máximo ni mínimo que adquiere la función en su dominio (por la derecha puede alcanzar valores muy superiores (hasta infinito, de hecho) y por la izquierda muy inferiores (hasta menos infinito, de hecho).

Spoiler

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Se ve claro que en un dominio una función continua siempre tiene máximos y mínimos globales, y que si no están en los máximos locales, estarán en los puntos del extremo del dominio (en este caso, al considerar el dominio \( (-\infty,+\infty) \), ahí estarán los máximos y mínimos globales). Los matemáticos son muy quisquillosos con el infinito, y dirán que no es que el máximo global se alcance en el infinito, es que como el infinito es inalcanzable, no existe máximo global. Cada uno que piense lo que quiera, al fin y al cabo, la función es como es, y todo se queda en un juego de palabras.

Para aclararlo, tomad como dominio, en esa misma imagen, del [-6,6]. ¿Tiene máximo global y mínimio global? Naturalmente, todas lo tienen. Y como no está en los máximos locales, está en los extremos, se ve en la gráfica.

Siguiente pregunta: ¿En qué intervalo de x crece la función? ¿Y en cuál decrece? A simple vista podemos responder a la pregunta, ¿verdad?
Pero... ¿Y matemáticamente?

Esta función que he presentado en la gráfica es:
\( y=x^3+x^2-x+1 \)

La derivada, es decir, la pendiente de la recta tangente, es decir, lo que crece la función por lo que avanza en x (si tras estos 3 nombres no se ha entendido bien lo que quiero decir, repásese el capítulo de la derivada), es:
\( y'=3x^2+2x-1 \)

La pregunta que surge es: ¿Cuándo crece la función? o equivalentemente, ¿cuándo tiene pendiente positiva, cuándo la función tiene derivada positiva? O también podemos preguntarnos cuándo decrece, y entonces habrá que ver cuándo es negativa.
Lo suyo es encontrar los puntos en los que la derivada corta al eje x (se hace 0), y... si no hay raíz doble... cambiará de la zona positiva a la negativa.

Enfocado de otra forma, la estrategia es: un número, para pasar de positivo a negativo, ha de pasar primero por el cero. Busquemos el cero, y analicemos a un lado y a otro del mismo si es positiva o negativa. Si es positiva, entonces a ese lado será siempre positiva hasta que encontremos otro cero, y tengamos que volver a analizar.

Así que vamos a encontrar cuándo la derivada es 0:
\( y'=3x^2+2x-1=0\Longrightarrow{}x=\dfrac{-2\pm{}\sqrt[ ]{2^2-4*3*(-1)}}{2*3} \)
Haciendo las operaciones, sale que la derivada vale 0 en \( x=\dfrac{1}{3},x=-1 \)

Ahora fijáos en la gráfica, y localizad el punto x=-1 y el punto x=0.33... y mirad su imagen... ¡¡¡Son el máximo y el mínimo de la función!!! ¿Cómo es posible? Pues porque la pendiente de la recta tangente en ese punto es 0, su derivada vale 0, y por tanto su recta tangente es horizontal. Esto ocurre siempre que haya máximo o mínimo.
¡¡¡Qué alegría!!! Ya sabemos cómo buscar los máximos y los mínimos. A los máximos y mínimos, en general, se les llama puntos críticos.
Entonces para calcular los puntos críticos, calculamos la derivada de la función, y buscamos los puntos en los que vale 0.

¿Para qué queríamos esto? Para analizar lo que había antes y después del punto en el que la derivada valía 0, y ver si en ese tramo la función crece o decrece. Pues vamos a evaluar la derivada a la izquierda y a la derecha de cada 0. Si sale positiva, es que crece, obviamente. Pero si sale negativa, será que decrece.

\( y'(-2)=3*(-2)^2+(-2)-1=+9>0 \) Así que la función crece de ese 0 para la izquierda, es decir, es creciente en \( (-\infty,-1) \)
\( y'(0)=-1<0 \) Así que la función decrece entre los dos 0s. Es decir, la función es decreciente en \( (-1,\dfrac{1}{3}) \)
\( y'(2)=13>0 \) Así que la función crece del segundo 0 (de la derivada, me estoy refiriendo siempre) hacia la derecha. Es decir, es creciente en \( (\dfrac{1}{3},+\infty) \)

¿Están bien los intervalos que he puesto? ¿Están bien los paréntesis? ¿Por qué no he puesto corchetes? Porque en los puntos en los que la derivada se anula ni es creciente ni es decreciente, es constante.

Y así se analizan los crecimientos y decrecimientos. Y se encuentran los máximos y los mínimos.
Pero realmente... nosotros hemos encontrado puntos críticos, pero ¿cómo podíamos saber si eran máximos o mínimos? Muy fácil: Hemos visto que en \( (-\infty,-1) \) la función crece. Y que en \( (-1,\dfrac{1}{3}) \) la función decrece. Luego en \( x=-1 \) la función deja de crecer para empezar a crecer. Esta es la definición de máximo local, así que hay un máximo local en \( x=-1 \). Lo mismo sucede con el otro punto crítico, podemos determinar que es mínimo por la definición: Vemos que decrece y luego comienza a crecer, por tanto es un mínimo.

Hay otra forma de saber si es máximo o mínimo sin tener que analizar los crecimientos y decrecimientos. Os la enseñaré, y de paso, os enseño la convexidad y concavidad.

Curvatura // Convexidad y concavidad // Puntos de inflexión

Para la convexidad y concavidad, haré lo contrario a lo que suelo hacer: Os diré primero cómo se calcula, y luego os explicaré, geométricamente, qué es.

Sea la función \( f(x)=x^2 \)
Si la derivamos una vez, \( f'(x)=2x \)
Si la derivamos otra vez, \( f''(x)=2 \)
Entonces su curvatura vale 2. Como es positiva, es convexa. Y como el valor de su curvatura es independiente del valor que tome x, siempre valdrá +2, pues esta función es convexa en todo el dominio.
Pues vale. ¿Pero qué es curvatura, convexidad... a qué me refiero? ¿Qué pretendo calcular con la derivada de la derivada, es decir, el crecimiento y decrecimiento de derivadas? La rapidez con la que crece un crecimiento... es como una aceleración, más que una velocidad...

Sea la función \( f(x)=-x^2 \)
Si la derivamos una vez, \( f'(x)=-2x \)
Si la derivamos otra vez, \( f''(x)=-2 \)
Entonces su curvatura vale -2. Como es negativa, es cóncava. Y como el valor de su curvatura es independiente del valor que tome x, siempre valdrá -2, pues esta función es cóncava en todo el dominio.

Ilustración

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Regla mnemotécnica

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Para comprender bien lo que es la curvatura, os pondré una función curiosa.

Spoiler

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¿Veis en qué zonas la función se asemeja a \( y=x^2 \), y en cuáles se asemeja a \( y=-x^2 \)? En unas la curvatura es positiva, y en la otra es negativa. De hecho, cuanto más cerrada es la curva, más grande será su curvatura (en valor absoluto).

¿Y veis las zonas de intersección entre las dos curvaturas de distinto signo? Están marcadas en un círculo marrón. Fijaos en que se parecen mucho a una línea recta. En las líneas rectas, es decir, en \( y=mx+n \), resulta que su derivada vale \( y'=m \), y si volvemos a derivar respecto de x, tenemos \( y''=0 \). Así que si en una función tenemos que su segunda derivada, su curvatura, en algún punto, vale 0, entonces esa función se debe parecer mucho a una línea recta en esa zona.

Por tanto la curvatura es una medida de cómo se parece la función a una función lineal. Si vale próxima a 0, se parece mucho. Sino, se parecerá más a una curva. Cuanto más alto sea el valor de la curvatura, más cerrada será la curva en esa zona.

Volviendo a la función original de este post, y a su gráfica, vemos que en la zona del máximo la curvatura es negativa, porque se parece a \( y=-x^2 \). En la zona intermedia entre los dos puntos críticos, la función parece una línea, así que ahí la curvatura será 0. En la zona del mínimo, la curvatura será positiva, pues se parece la función a \( y=x^2 \)

Así que, matemáticamente, vamos a seguir la misma estrategia para determinar la concavidad y convexidad que para determinar el crecimiento y decrecimiento:
Primero determinamos cuándo la curvatura es 0. Esos puntos en los que la curvatura es 0 se llaman puntos de inflexión.
Luego analizamos a un lado y al otro de los puntos de inflexión el signo de la curvatura. Si es negativa, la función será cóncava. Si es positiva, la función será convexa y, por tanto, será feliz.
\( y=x^3+x^2-x+1 \)
\( y'=3x^2+2x-1 \)
\( y''=6x+2 \)
Así que la curvatura depende de x. ¿Cuándo vale 0?
\( y''=6x+2=0\Longrightarrow{}x=\dfrac{-1}{3} \)
Comprobadlo en la gráfica, y ved qué forma tiene un punto de inflexión. Se parece a una línea.

\( y''(-1)=-4<0 \) Así que a la izquierda del punto de inflexión la función es cóncava. Y por tanto, todos los puntos críticos que haya en esa zona serán máximos.
\( y''(0)=2>0 \) Así que a la derecha del punto de inflexión la función es feliz, digo, convexa. Y por tanto, todos los puntos críticos que haya en esa zona serán mínimos.

Y así se analiza la curvatura.

Así que, para encontrar máximos y mínimos:
Calculamos la derivada de la función. La igualamos a 0 para encontrar los puntos de recta tangente horizontal, puntos críticos. Calculamos la segunda derivada, la curvatura. La evaluamos en esos puntos críticos que hemos encontrado para investigar si son máximos o mínimos.
Y si en ese punto crítico, la función es convexa, el punto crítico será un mínimo local.
Y si en ese punto crítico, la función es cóncava, el punto crítico será un máximo local.
Y si en ese punto crítico, la función tiene un punto de inflexión, es decir, la curvatura vale 0, el punto crítico no es ni máximo ni mínimo: es un punto de silla.

¿Qué forma tendrán los puntos de silla? Buscad una función que tenga derivada 0 en algún punto y que, en ese mismo punto, tenga también su segunda derivada 0, y graficadla. Son muy bonitos, os recomiendo que lo miréis.

Y con esto, acaba el análisis de funciones.

[Piockñec]

Análisis de funciones (V)
Ejercicio resuelto completo de análisis

Tomaré los dos primeros ejercicios de la opción A del examen de Junio del curso 2012-2013 de selectividad en Andalucía.

1.) Sea g la función definida por \( g(x)=\dfrac{mx^3}{(x-n)^2} \):
a) [1'75 puntos] Halla m y n sabiendo que la recta \( y=2x-4 \) es una asíntota de la
gráfica de g.
b) [0'75 puntos] Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen.

Vamos allá. En primer lugar, no estaría mal saber estas respuestas de antemano, con sólo imaginar la gráfica de esa función:
Vemos que el numerador tiene un grado mayor que el denominador, así que tiende a \( \infty \) cuando x tiende a infinito:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=+\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=-\infty \)
(el signo se debe a que el denominador es siempre positivo (está al cuadrado) y el numerador es negativo cuando x está a la izquierda de 0, y positivo cuando x está a la derecha de 0).
Tiene asíntota vertical cuando x vale n... y al ser el grado del numerador 1 mayor que el del denominador, tendrá asíntota oblícua.
Así que más o menos, yo personalmente, con estos datos, me la imagino así, nada más verla y sin conocer el valor de m y de n:

Spoiler

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Esto es preliminar, innecesario, pero ayuda mucho para poder intuir si la solución que al final obtienes es imposible y te has equivocado en algún signo operando.

Calculemos la asíntota oblícua de la función, y luego le obligaremos a que sea como la que nos dicen que es:
\( m=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\dfrac{g(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\dfrac{\dfrac{mx^3}{(x-n)^2}}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\dfrac{mx^2}{(x-n)^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\dfrac{mx^2}{x^2+n^2-2nx}}=m \)
Tanto para \( x\to +\infty \) como para \( x\to -\infty \).

Esto de m=m, que parece una obviedad, es la casualidad de que yo a la pendiente de la recta tangente le suelo llamar m, y aquí el parámetro-incógnita a descubrir de la función se llama igual (una casualidad... buscada por el examinador para ayudar).

Seguimos calculando la asíntota oblicua:
\( n=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{g(x)-mx}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\dfrac{mx^3}{(x-n)^2}-mx}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\dfrac{mx^3}{(x-n)^2}-\dfrac{mx(x-n)^2}{(x-n)^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\dfrac{mx^3-mx^3-mxn^2+2mx^2n}{(x-n)^2}}=2mn \)
¿Parecía que iba a salir n? pues no, salió n=2mn.

Entonces la asíntota oblicua queda:
\( y=mx+2mn \)
Si en vez de hacer todo esto, cogemos el polinomio de arriba y lo dividimos por el de abajo, sale el mismo resultado, lo he comprobado. Comprabadlo vosotros...

Como el enunciado nos dice que la asíntota oblicua vale \( y=2x-4 \), identificando términos, \( m=2 \) y por otro lado, \( 2mn=-4\longrightarrow{}n=-1 \)
Y la función queda:
\( g(x)=\dfrac{2x^3}{(x+1)^2} \)

Spoiler

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Bueeeno... no se puede decir que mi intento de graficar la función con la mirada haya sido todo un éxito... pero para lo que la queríamos, nos ha servido, conserva las mismas características fundamentales. (¿Por qué fallé estruendosamente al tratar de graficar la función con sólo verla? Porque sólo usé la información de su comportamiento lejos de 0, con los límites cuando x tiende a infinito, y el hecho de que hay "1 asíntota vertical por ahí". Si hubiera tenido en cuenta de que en 0 hay una raíz triple (y por tanto, se parecerá en 0 a la función \( y=x^3 \)(por tratarse sólo de polinomios)), hubiera atinado mejor).

Ejercicio casi resuelto. ¿Es simétrica respecto del origen? A la vista de la gráfica, NO, pero la gráfica no la tenemos en el examen (de ahí que sea importante imaginársela más o menos bien). Aplicamos la definición de simetría.
¿Es simétrica par? Es decir, ¿\( g(-x)=g(x) \)?
Y la función nos responde:
\( \dfrac{2(-x)^3}{((-x)+1)^2}\neq{}\dfrac{2x^3}{(x+1)^2} \)
Así que no es simétrica par.
¿Es simétrica impar? Es decir, ¿\( g(-x)=-g(x) \)
Y la función nos responde:
\( \dfrac{2(-x)^3}{((-x)+1)^2}=-\dfrac{2x^3}{(-x+1)^2}\neq{}-\dfrac{2x^3}{(x+1)^2} \)
Así que no es simétrica impar.
Y concluimos: NO tiene simetría respecto del origen.
Si no nos acordamos de esto, y estamos en selectividad... aplicamos el ingenio: Dibujamos la función tan bien como podamos, y respondemos si tiene o no simetría.

2)[2'5 puntos] De la función definida por \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \) se sabe que alcanza un máximo relativo en \( x = 1 \), que la grafica tiene un punto de inflexión en (0,0) y que \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\dfrac{5}{4} \). Calcula a,b,c y d.

Vamos a ello.
En primer lugar, nos dicen que alcanza un máximo relativo en x=1. ¿Y qué sucedía en los máximos, por definición? ¡Que la recta tangente en el máximo es horizontal, y la derivada se anula! Pero eso sucedía también en los mínimos, ¿qué más sucedía en los máximos? Que su segunda derivada, su curvatura, era negativa. Así que vamos a calcular sus máximos, obligarles a que al menos uno esté en x=1, y luego obligarle a la función que su curvatura en x=1 sea negativa. A ver qué ocurre:
\( f'(x)=3ax^2+2bx+c
[tex]f''(x)=6ax+2b \)

Empecemos a imponerle condiciones a la función.
Primera condición: En 1 debe tener un punto crítico:
\( f'(1)=0\longrightarrow{}3a+2b+c=0 \)
Y la segunda condición: Ese punto crítico, que está en x=1, debe ser un máximo. Es decir, su curvatura debe ser negativa:
\( f''(1)=6a+2b<0 \)
De aquí creo que ya no podemos sacar nada más en claro.

Veamos la siguiente condición: Tiene un punto de inflexión en (0,0).
Para que lo tenga, ¡¡¡como mínimo la función debe pasar por ese punto!!! Le imponemos primero eso:
\( f(0)=0\longrightarrow{}0^3+0^2+0+d=0\Rightarrow{}d=0 \)
Y ahora la condición de punto de inflexión, que por definición es:
\( f''(0)=0\longrightarrow{}6a*0+2b=0\Rightarrow{}b=0 \)
A ver si podemos retocar las ecuaciones de antes:
\( 3a+2b+c=0\longrightarrow{}3a+c=0 \)
\( 6a+2b<0\longrightarrow{}6a<0\Rightarrow{}a<0 \)

Sigamos. Le imponemos la siguiente condición: Su integral de 0 a 1 vale cinco cuartos. Comprobémoslo:
\( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{1}(ax^3+cx)dx=\dfrac{ax^4}{4}+\dfrac{cx^2}{2}]^1_0=\dfrac{a}{4}+\dfrac{c}{2}-(0^4+0^2) \)
Y a eso le imponemos que valga cinco cuartos:
\( \dfrac{a}{4}+\dfrac{c}{2}=\dfrac{5}{4} \)
O escrito de otra forma,
\( a+2c=5 \)

Y ya tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas (y una inecuación por ahí):
\( a+2c=5 \)
\( 3a+c=0 \)
\( a<0 \)

Despejamos del sistema como queramos, y nos sale c=3 y a=-1, cumpliendo a la inecuación. Si no la cumpliera, el punto sería un mínimo.

Así que la función es:
\( f(x)=-x^3+3x^2 \)

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Límites

Llegó la hora de ser más diestro en el cálculo de límites.

Como podríais intuir, cuando tenemos una función continua, normalita, y sin saltos, ni asíntotas verticales, ni nada, calcular el límite cuando x tiende a un punto es, simplemente, evaluar la función en dicho punto, como ocurre con:
\( f(x)=x\longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to 5}{f(x)}=f(5)=5 \)
\( f(x)=\dfrac{1}{x}\longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to 5}{f(x)}=f(5)=\dfrac{1}{5} \)
En esta última función hay una asíntota vertical, pero no está en el punto que estamos considerando, así que sin problemas

Y así, en principio, podriámos evaluar todos los límites... pero surgen problemas:
\( f(x)=\dfrac{x+2}{x^2+2x}\longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to -2}{f(x)}=f(-2)=\dfrac{0}{0} \)

El número 0/0 no es un número. No se puede dividir nada entre 0 personas. A ese número se le llama indeterminación. Y no es que la función no tenga límite: lo tiene, de hecho. Pero la indeterminación nos impide saber el límite por la vía rápida (sustituyendo), y hay que resolverlo por otras vías.

Así que para calcular límites, en principio sustituimos el valor a ver si nos da algo coherente. Pero si nos da una indeterminación, aplicamos los métodos que sepamos o que se nos ocurran para averiguar a qué valor tiende la función cuando nos acercamos a ese punto (y nos acercamos tanto como nos sea posible, al límite).

Las posibles indeterminaciones que podéis encontraros son:
\( \dfrac{0}{0},\dfrac{\pm{}\infty}{\pm{}\infty},\dfrac{k}{0},1^{\pm{}\infty},\infty-\infty,0^0 \)
Estos números son los más horrorosos para los matemáticos, así que cuando queráis asustar a alguno, ya sabéis qué escribirles en una hoja.

Comenzamos:

\( \dfrac{0}{0},\dfrac{\pm{}\infty}{\pm{}\infty} \)

Estos límites se resuelven por la regla de L'Hôpital, y es maravillosa y sencilla de usar.
La regla de L'Hôpital sólo sirve para resolver estos dos tipos de indeterminaciones.
Tomemos el ejemplo que puse antes:
\( f(x)=\dfrac{x+2}{x^2+2x}\longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to -2}{f(x)}=f(-2)=\dfrac{0}{0} \)
Al evaluarlo, nos da 0/0, así que la regla de L'Hôpital se puede usar.
La regla de L'Hôpital dice que:
\( \displaystyle\lim_{x \to a}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle\lim_{x \to a}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}} \)
Es decir, calcular el límite de una fracción de funciones es lo mismo que calcular el límite de la fracción de las funciones derivadas.
Cuidado, no hay que usar la regla de derivación del cociente, se deriva cada función por separado:

\( \displaystyle\lim_{x \to -2}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle\lim_{x \to -2}{\dfrac{x+2}{x^2+2x}}=\displaystyle\lim_{x \to -2}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}=\displaystyle\lim_{x \to -2}{\dfrac{1}{2x+2}}=\dfrac{1}{2(-2)+2}=\dfrac{-1}{2} \)

Tatatachán. Límite calculado. Y así se hace siempre. Tomemos otro ejemplo:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{\dfrac{e^x-1}{(x+1)^2-1}}=\dfrac{e^0-1}{(0+1)^2-1}=\dfrac{0}{0} \)
Como la historia termina con un 0/0, aplica la regla de L'Hôpital:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{\dfrac{e^x-1}{(x+1)^2-1}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{\dfrac{e^x}{2(x+1)}}=\dfrac{1}{2} \)

Tatachán. Límite calculado.

Otro ejemplo más:
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{x^2+60x-100}{x^3-50x^2-30}}=\dfrac{\infty^2+\infty-100}{\infty^3-\infty^2-30}=\dfrac{\infty}{\infty} \)
En el numerador hay dos infinitos sumándose: Se suman, no es una indeterminación. En el denominador hay dos infinitos restándose: Indeterminación. Aunque en este caso los he restado. ¿Por qué? Porque uno está al cubo y es infinitas veces mayor que el otro, luego si le sumo el otro infinito, es como si a infinito le sumo 1: sigue siendo infinito. En otras palabras, un infinito procede de una función que crece mucho más rápidamente (\( x^3 \)) que la función del infinito sustraendo (\( x^2 \)), y al compararlo, se ve que la imagen de la primera función, cuando la x es enoorme (tiende a infinito) es mucho mayor que la imagen de la segunda función, infinitamente mayor.

Esto es intuitivamente lo que hace la regla de L'Hôpital: Compara el ritmo de crecimiento del numerador y del denominador. Al final os lo explicaré. Ahora resolveré este límite:
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{x^2+60x-100}{x^3-50x^2-30}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{2x+60}{3x^2-100x}}=\dfrac{\infty}{\infty} \)
Aplicamos otra vez la regla de L'Hôpital. Hay que aplicarla tantas veces necesitemos:
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{2x+60}{3x^2-100x}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{2}{6x-100}}=\dfrac{2}{\infty}=0 \)
Porque si tengo dos caramelos y tengo que repartirlos entre toda la Humanidad, cabe a 0 caramelos por persona, prácticamente. Sobre todo porque no se trata de la Humanidad lo que hay en el denominador, sino algo aún mayor, infinito.

Os dije que la regla de L'Hôpital compara el ritmo de crecimiento del numerador y del denominador. Os voy a dar un truquito que se basa en esto para calcular límites de fracciones polinómicas:
1) Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador, el límite da infinito si el coeficiente del monomio de mayor grado del numerador es positivo, y menos infinito si el coeficiente del monomio de mayor grado del numerador es negativo.
2) Si el grado del polinomio del numerador es igual que el grado del polinomio del denominador, el límite es el cociente entre el coeficiente de mayor grado del numerador (con su signo) y el coeficiente de mayor grado del denominador (también con su signo).
3) Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, el límite da 0.

Y esto es así, porque en \( f(x)=x^2-100x \), al principio manda el -100x, pero cuando x se va haciendo grande, el valor de \( x^2 \) es el que manda.

Ilustración

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Fijaos en la imagen: He dibujado el típico \( x^2 \) y \( x^2-100x \). Al principio no se parecían en nada: el \( x^2 \) era un \( x^2 \), y el \( x^2-100x \) era un \( -100x \), una recta con una pendiente gigante negativa. Pero luego vamos creciendo en x... y lo que parecía una recta con pendiente negativa que se iba al \( -\infty \), sube rapidísimo y pasa a tener imagen positiva. Y si crecemos aun más en x, se ve cómo el comportamiento de la función es clavado al de \( x^2 \) (las dos gráficas se solapan). Y se irán solapando más y más conforme x tienda a infinito. Si dividiréramos ambas funciones, obviamente, el límite será 1, es decir,
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{x^2}{x^2-100x}}=1 \)

Entonces en el denominador y en el numerador podemos olvidarnos de todos los términos salvo del de mayor grado. Y al dividirlos, si el monomio del numerador es de mayor grado que el del denominador, crecerá mucho más rápido cuando x tiende a infinito que el del denominador: El límite es infinito. Y si son de igual grado, se tachan en la fracción, y sólo quedan los coeficientes. Y si el del numerador es de menor grado, crecerá mucho más lento que el del denominador, que se dispara, y al final divides entre infinito: El límite da 0.

Otra forma de resolver el cociente de polinomios, más formalmente es la siguiente:
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{x^2+60x-100}{x^3-50x^2-30}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{60}{x^2}-\dfrac{100}{x^3}}{1-\dfrac{50}{x}-\dfrac{30}{x^3}}}=\dfrac{0}{1}=0 \)
Lo que he hecho ha sido dividir el numerador y el denominador por el polinomio de mayor grado: Los que tengan menor grado, se irán a 0 por separado por el razonamiento anterior, y los que tengan igual grado, se volverán un numerito, como le pasa a ese 1 que ha salido.

El resto de indeterminaciones se resuelven usando trucos para expresar el límite como \( \dfrac{\infty}{\infty} \) ó \( \dfrac{0}{0} \), y entonces ya está casi resuelto (sólo resta usar L'Hôpital, y se acabó). Y así se hacen todos... salvo el de \( 1^\infty \), que es un poco más complicado, pero tampoco tanto.

Lo haremos en el próximo post.