Autor Tema: Soporte del grupo de simetrias

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

04 Mayo, 2021, 07:24 am
Leído 57 veces

SebaGa

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 15
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Si \( \alpha \in S_n \) definimos el soporte de a como \(  Sop(\alpha) = \{k\in  \mathbb{I}_n ; \alpha(k)\neq k\} \).
Proposición:
a) Si \( k\in  \mathbb{I}_n \), entonces \( k\in Sop(\alpha) \Leftrightarrow a(k) \in Sop(\alpha) \) (obviamente, este enunciado equivale a: \( Sop(\alpha) = \alpha(Sop(\alpha)) \).
b) Para todo \( m\in  \mathbb{N} \) se tiene \( Sop(\alpha^m) \subset Sop(\alpha). \)

Estoy presentando dificultades para abordar este ejercicio tambien, se me aproxima una evaluación y a pesar de que sé la materia, me cuesta un mundo poder demostrar este tipo de cosas :( Ojalá me puedan dar alguna ayudita.

04 Mayo, 2021, 09:32 am
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,343
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Si \( \alpha \in S_n \) definimos el soporte de a como \(  Sop(\alpha) = \{k\in  \mathbb{I}_n ; \alpha(k)\neq k\} \).
Proposición:
a) Si \( k\in  \mathbb{I}_n \), entonces \( k\in Sop(\alpha) \Leftrightarrow a(k) \in Sop(\alpha) \) (obviamente, este enunciado equivale a: \( Sop(\alpha) = \alpha(Sop(\alpha)) \).
Observa que \[ \alpha(k)\notin Sop(\alpha) \] es lo mismo que decir \[ \alpha(\alpha(k))=\alpha(k) \]. Pero como \[ \alpha \] es biyectiva, esto es equivalente a \[ \alpha(k)=k \], es decir, a \[ k \notin Sop(\alpha) \].

Citar
b) Para todo \( m\in  \mathbb{N} \) se tiene \( Sop(\alpha^m) \subset Sop(\alpha). \)
Esto es bastante inmediato: si \[ \alpha^m(k) \neq k \] entonces necesariamente \[ \alpha(k) \neq k \] (porque si \[ \alpha(k)=k \] entonces se sigue por inducción que \[ \alpha^m(k)=k \]).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Mayo, 2021, 09:36 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,051
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Si \( \alpha \in S_n \) definimos el soporte de a como \(  Sop(\alpha) = \{k\in  \mathbb{I}_n ; \alpha(k)\neq k\} \).
Proposición:
a) Si \( k\in  \mathbb{I}_n \), entonces \( k\in Sop(\alpha) \Leftrightarrow a(k) \in Sop(\alpha) \) (obviamente, este enunciado equivale a: \( Sop(\alpha) = \alpha(Sop(\alpha)) \).

Quieres decir:

\( k\in Sop(\alpha) \Leftrightarrow \color{red}\alpha\color{black}(k) \in Sop(\alpha) \)

Si \( k\in Sop(\alpha) \) entonces \( \alpha(k)\neq k \). Dado que \( \alpha \) es inyectiva entonces \( \alpha(\alpha(k))\neq \alpha(k) \) y por tanto \( \alpha(k)\in Sop(\alpha) \).

Si \( \alpha(k)\in Sop(\alpha) \) entonces \( \alpha(\alpha(k))\neq \alpha(k) \), por tanto \( \alpha(k)\neq k \) (ya que si \( \alpha(k)=k \) tendríamos \( \alpha(\alpha(k))=\alpha(k)) \).

Citar
b) Para todo \( m\in  \mathbb{N} \) se tiene \( Sop(\alpha^m) \subset Sop(\alpha). \)

Equivale a probar:

\( k\not\in Sop(\alpha)\quad \Rightarrow{}\quad k\not\in Sop(\alpha^m) \)

Pero \( k\not\in Sop(\alpha)\quad \Rightarrow{}\quad \alpha(k)=k \). Por tanto: \( \alpha^m(k)=\alpha^{m-1}(\alpha(k))=\alpha^{m-1}(k)=\ldots=k \).

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto se adelantó geómetracat.

04 Mayo, 2021, 10:42 pm
Respuesta #3

SebaGa

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 15
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Uuh, me estaba ahogando en un vaso de agua, no estaba tan dificil jeje. Muchas gracias nuevamente.