Autor Tema: Pendientes de una función par.

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04 Mayo, 2021, 12:18 am
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narpnarp

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Hola.

Estoy leyendo un libro de precalculo y se me da un pequeño avance de cálculo introduciéndome a la derivada y su definición que es determinar  la pendiente de la recta tangente a la función.

Si \( f \) es una función par y \( (x,y) \) está en la gráfica de \( f \), entonces \( (-x,y) \) también está en la gráfica de \( f \). ¿Cómo se relacionan las pendientes de las tangentes en \( (x,y) \) y \( (-x,y) \)?

Sé que para las funciones pares \( f(x)=f(-x) \) e hice uso de la definición de derivada
\( f'(x)=\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

Ahora evalué \( -x \)
\( f'=\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}=\displaystyle\frac{f(-(x-h))-f(x)}{h}=\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h} \)
Pero no llegué a nada más.
También traté de hacer uso de otra definición de derivada
\( f'=\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \), pero igual no llegué a nada.

Saludos.

04 Mayo, 2021, 12:35 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Esto es falso:
\( f'(x) = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}  \) debería ser \( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}  \)

Debes usar que si es \( f \) par en un dominio que garantiza lo pedido:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \displaystyle  \lim_{h \to 0} \dfrac{f(-x-h)-f(-x)}{h} =   \displaystyle  \lim_{h \to 0} -\dfrac{f(-x-h)-f(-x)}{-h}  = -f'(-x)  \) 

04 Mayo, 2021, 02:37 am
Respuesta #2

hméndez

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Hola.

Estoy leyendo un libro de precalculo y se me da un pequeño avance de cálculo introduciéndome a la derivada y su definición que es determinar  la pendiente de la recta tangente a la función.

Si \( f \) es una función par y \( (x,y) \) está en la gráfica de \( f \), entonces \( (-x,y) \) también está en la gráfica de \( f \). ¿Cómo se relacionan las pendientes de las tangentes en \( (x,y) \) y \( (-x,y) \)?

Sé que para las funciones pares \( f(x)=f(-x) \) e hice uso de la definición de derivada
\( f'(x)=\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

Ahora evalué \( -x \)
\( f'=\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}=\displaystyle\frac{f(-(x-h))-f(x)}{h}=\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h} \)
...

Escríbelo como debe ser, como un límite. En la última expresión haz el cambio de variable \( t=-h \) y llegarás a que \( f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) \)
es decir las derivadas son una la opuesta de la otra o una es el reflejo de la otra respecto al eje Y. Ese resultado también nos dice que la derivada de \(  f  \) es impar.

Saludos

04 Mayo, 2021, 03:10 am
Respuesta #3

narpnarp

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Hola.
Se me paso poner al completo la ecuación. Nunca había escrito los límites por internet.
Una de las cosas de las que sé qye me equivoqué fue solo sustituir \( x \) por \( -x \), y no ver que \( (x+h) \) debe de ser negado y así escribir \( -(x+h) \)
No entiendo por qué \( h \) no cambia de signo al hacer la sustitución

Citar
\(        \displaystyle\lim_{h \to0}{}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=  \displaystyle\lim_{x \to}{}\displaystyle\frac{f(-x-h)-f(-x)}{h}
      \)

Saludos.

04 Mayo, 2021, 07:21 am
Respuesta #4

hméndez

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Hola.
Se me paso poner al completo la ecuación. Nunca había escrito los límites por internet.
Una de las cosas de las que sé qye me equivoqué fue solo sustituir \( x \) por \( -x \), y no ver que \( (x+h) \) debe de ser negado y así escribir \( -(x+h) \)...

No. Lo que dices no es correcto. Si quiero conseguir la derivada de \(  f  \) en un punto \( -x  \) de su dominio escribo:

\( f^{\prime}(-x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}} \)

con \(  f  \)  par escribo:

\( f^{\prime}(-x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(-(x-h))-f(-x)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h}} \)

haciendo el cambio \(  t=-h  \) en el último límite:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h}}=-\displaystyle\lim_{t \to{0}}{\displaystyle\frac{f(x+t)-f(x)}{t}}=-f^{\prime}(x) \)

por tanto

\( f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) \)

Saludos

04 Mayo, 2021, 03:28 pm
Respuesta #5

narpnarp

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Hola.

¿Por qué se realiza el cambio \( t=-h \)? Eso no me lo han enseñado.

Saludos.