Autor Tema: Ejemplo de una sucesión de funciones continuas en que converge puntualmente

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

03 Mayo, 2021, 01:59 am
Leído 97 veces

cristianoceli

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 767
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola tengo dificultades con este ejercicio

Sea \( f_n  \)  una sucesión de funciones continuas en un espacio métrico \( (M, d) \) que converge uniformemente a una función \( f \)

a) Muestre que \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f_n(x_n)=f(x)} \) para toda sucesión \( x_n \) de puntos en \( M \) tal que \( x_n \longrightarrow{x} \) en \( M \)

b) Muestre un ejemplo de una sucesión \( \{ f_n \} \) de funciones continuas en \( [0, 1]  \)que converge puntualmente a una función continua \( f \) y una sucesión de puntos \( \{ x_n \} \) en \( [0, 1] \) que converge a algún punto \( x_0 \in [0, 1] \) de modo que \( f_n(x_n) \) no converja a \( f(x_0) \)

Lo que he hecho:

a) \( |f_n(x_n) - f(x)|
= |\left( f_n(x_n)-f(x_n) \right) + \left( f(x_n) - f(x) \right)|
\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)| \)

b) No se me ocurre ningún ejemplo

De antemano gracias
Saludos

03 Mayo, 2021, 02:42 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,072
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Toma:
\(  f_n(x) = \begin{cases} n \cdot x & \text{si} & x \in [0,\dfrac{1}{n}]\\-n \cdot x + 2 & \text{si} & x \in ]\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n}]\\0 & \text{si} & x \in ]\dfrac{2}{n},1] \end{cases}  \) , definida para \( n \geq 3 \)
Toma la sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty} \) definida por \( x_n = \dfrac{1}{n}  \)

04 Mayo, 2021, 06:05 am
Respuesta #2

cristianoceli

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 767
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias la parte a como la puedo complementar no se me ocurre como seguir.


Saludos

04 Mayo, 2021, 09:48 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,051
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

a) Muestre que \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f_n(x_n)=f(x)} \) para toda sucesión \( x_n \) de puntos en \( M \) tal que \( x_n \longrightarrow{x} \) en \( M \)

Citar
Lo que he hecho:

a) \( |f_n(x_n) - f(x)|
= |\left( f_n(x_n)-f(x_n) \right) + \left( f(x_n) - f(x) \right)|
\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)| \)

No puedes usar valor absoluto. Tienes que usar la distancia \( d \). Por la convergencia uniforme, dado \( \epsilon>0 \) existe un \( n_0 \) tal que:

si \( n\neq n_0 \) entonces \( d(f_n(y),f(y))<\epsilon \) para cualquier \( y\in M \)

Además el límite uniforme de funciones continuas es continua. Por tanto secuencialmente continua: \( f(x_n)\to f(x) \) y asi existe un \( n_1 \) tal que:

 si \( n\geq n_1 \) entonces  \( d(f(x_n),f(x))<\epsilon \)

Ahora si \( n\geq max(n_0,n_1): \)

\( d(f_n(x_n),f(x))\leq d(f_n(x_n),f(x_n))+d(f(x_n),f(x))<\epsilon+\epsilon \)

Saludos.

05 Mayo, 2021, 07:01 pm
Respuesta #4

cristianoceli

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 767
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

a) Muestre que \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f_n(x_n)=f(x)} \) para toda sucesión \( x_n \) de puntos en \( M \) tal que \( x_n \longrightarrow{x} \) en \( M \)

Citar
Lo que he hecho:

a) \( |f_n(x_n) - f(x)|
= |\left( f_n(x_n)-f(x_n) \right) + \left( f(x_n) - f(x) \right)|
\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)| \)

No puedes usar valor absoluto. Tienes que usar la distancia \( d \). Por la convergencia uniforme, dado \( \epsilon>0 \) existe un \( n_0 \) tal que:

si \( n\neq n_0 \) entonces \( d(f_n(y),f(y))<\epsilon \) para cualquier \( y\in M \)

Además el límite uniforme de funciones continuas es continua. Por tanto secuencialmente continua: \( f(x_n)\to f(x) \) y asi existe un \( n_1 \) tal que:

 si \( n\geq n_1 \) entonces  \( d(f(x_n),f(x))<\epsilon \)

Ahora si \( n\geq max(n_0,n_1): \)

\( d(f_n(x_n),f(x))\leq d(f_n(x_n),f(x_n))+d(f(x_n),f(x))<\epsilon+\epsilon \)

Saludos.

Vale entiendo muchas gracias.

Saludos