Autor Tema: Calculo de momento de inercia para figuras compuestas

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27 Abril, 2021, 09:19 am
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nanotech

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Muy buenas noches a todos amantes de la ciencia!

Me gustaría que me orientaran en como resolver el siguiente problema relacionado al momento inercial:

Como se ve en la figura, se recortaron nueve hoyos cuadrados en una placa cuadrada plana. La placa tiene la longitud de borde l. y los hoyos una longitud a. Éstos se encuentran en el centro de los cuadrados pequeños formados al dividir cada lado del cuadrado en tres secciones iguales. Calcule la inercia rotacional de las rotaciones alrededor de un eje perpendicular a la placa que atraviesa el centro.

Nota: la imagen de la figura viene en archivo "problema mecanica"


27 Abril, 2021, 06:01 pm
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...

Calcula primero el momento de inercia de la placa plana sin hoyos, respecto de un eje perpendicular a la placa


\( I_P=\dfrac{m_Tl^2}{6} \)


el hoyo central  cuyo eje de inercia pasa por su centro tiene momento

\( I_H=\dfrac{ma^2}{6} \)

pero los otros 8 hoyos están desplazados por o que es valido aplicar el teorema de Steiner

\( I=I_{cm}+md^2 \)

la masa  \( m \) es la porción faltante de material,(que es una fracción el área total , si la densidad es constante) y d la distancia entre centro de los hoyos  desplazados  como son tres secciones iguales,  4 están a una distancia  \( l/3 \)corregido y otros 4 a una distancia \( \sqrt2 l/3 \)


por lo que el momento de inercia total es

\( I_T=I_P-I_H-4(I_H+m\left(\dfrac{l}{3}\right )^2)-4(I_H+m\left(\dfrac{\sqrt 2 l}{3}\right )^2) \)

la masa de la plancha sin hoyos

\( m_T=\rho e l^2 \)

la masa faltante de un hoyo

\( m=\rho e a^2 \)

luego \( m=m_T\dfrac{a^2}{l^2} \)

\( I_T=\dfrac{m_Tl^2}{6}-9\dfrac{m_T\dfrac{a^2}{l^2}a^2}{6}-4m_T\dfrac{a^2}{l^2}\left(\dfrac{l}{3 }\right )^2)-4m_T\dfrac{a^2}{l^2}\left(\dfrac{\sqrt 2 l}{3}\right )^2) \)

\( I_T=m_T\left(\dfrac{l^4-9a^4-8a^2l^2}{6l^2}\right ) \)
-
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

28 Abril, 2021, 03:06 am
Respuesta #2

nanotech

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Calcula primero el momento de inercia de la placa plana sin hoyos, respecto de un eje perpendicular a la placa


\( I_P=\dfrac{m_Tl^2}{6} \)


el hoyo central  cuyo eje de inercia pasa por su centro tiene momento

\( I_H=\dfrac{ma^2}{6} \)

pero los otros 8 hoyos están desplazados por o que es valido aplicar el teorema de Steiner

\( I=I_{cm}+md^2 \)

la masa  \( m \) es la porción faltante de material,(que es una fracción el área total , si la densidad es constante) y d la distancia entre centro de los hoyos  desplazados  como son tres secciones iguales,  4 están a una distancia  \( l/3 \)corregido y otros 4 a una distancia \( \sqrt2 l/3 \)


por lo que el momento de inercia total es

\( I_T=I_P-I_H-4(I_H+m\left(\dfrac{l}{3}\right )^2)-4(I_H+m\left(\dfrac{\sqrt 2 l}{3}\right )^2) \)

la masa de la plancha sin hoyos

\( m_T=\rho e l^2 \)

la masa faltante de un hoyo

\( m=\rho e a^2 \)

luego \( m=m_T\dfrac{a^2}{l^2} \)

\( I_T=\dfrac{m_Tl^2}{6}-9\dfrac{m_T\dfrac{a^2}{l^2}a^2}{6}-4m_T\dfrac{a^2}{l^2}\left(\dfrac{l}{3 }\right )^2)-4m_T\dfrac{a^2}{l^2}\left(\dfrac{\sqrt 2 l}{3}\right )^2) \)

\( I_T=m_T\left(\dfrac{l^4-9a^4-8a^2l^2}{6l^2}\right ) \)
-

Hola, muchas gracias por la ayuda :D

Quisiera saber como calculaste los valores de \( m_T= pel^2 , m = pea^2  \) y
\( m = m_t \displaystyle\frac{a^2}{l^2} \)?

28 Abril, 2021, 09:06 pm
Respuesta #3

Richard R Richard

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Al ser una placa cuadrada plana, el espesor y la densidad son constantes.




el valor de la masa de la placa sin hoyos es igual a la densidad por el volumen de la placa,(espesor por área)
y la masa faltante por un hoyo , es la densidad por el volumen del hoyo(espesor por área del hoyo)

\( m_T=\overbrace{\rho}^{densidad}\overbrace{e}^{espesor}\overbrace{l^2}^{area} \)


del mismo modo  sale la masa faltante de un hueco


\( m_H=m=\rho e a^2 \)


y si divides una fórmula por la otra


\( \dfrac{m_H}{m_T}=\dfrac{\cancel{\rho e} a^2}{\cancel{\rho e} l^2}=\dfrac{a^2}{l^2} \)


luego\( m=m_H=m_T\dfrac{a^2}{l^2} \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

04 Mayo, 2021, 02:59 am
Respuesta #4

nanotech

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Al ser una placa cuadrada plana, el espesor y la densidad son constantes.




el valor de la masa de la placa sin hoyos es igual a la densidad por el volumen de la placa,(espesor por área)
y la masa faltante por un hoyo , es la densidad por el volumen del hoyo(espesor por área del hoyo)

\( m_T=\overbrace{\rho}^{densidad}\overbrace{e}^{espesor}\overbrace{l^2}^{area} \)


del mismo modo  sale la masa faltante de un hueco


\( m_H=m=\rho e a^2 \)


y si divides una fórmula por la otra


\( \dfrac{m_H}{m_T}=\dfrac{\cancel{\rho e} a^2}{\cancel{\rho e} l^2}=\dfrac{a^2}{l^2} \)


luego\( m=m_H=m_T\dfrac{a^2}{l^2} \)

Muchas gracias, ya pude resolverlo :D