[ToniGim]

Buenas tardes: Planteo el siguiente problema
Dada una elipse de semiejes a y b, sea D la distancia desde el centro de la elipse (punto O) al centro del circulo interno (de radio R) situado en el eje de las x (semieje a) y que es tangente a la elipse.
Hallar R en función de D, a y b.
Este problema lo he sacado de la siguiente web (en francés)
https://www2.mat.ulaval.ca/liens-utiles/les-sangaku-des-tablettes-a-linternet/9658-sangaku-pour-le-web/4-theorie-des-ellipses/cercle-vs-ellipse/
(hay continuación del problema)

[ToniGim]

Como la página web no se ven los dibujos, la he subido a la siguiente dirección
https://mega.nz/file/p9gG0Roa#VrgaSeBA1M4tBcjMPOFEqBcT1QiStPWWDTczxdDYqtY

[ToniGim]

[Richard R Richard]

La ecuación de la elipse

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

la ecuación del círculo

\( (x-D)^2+y^2=R^2 \)

si despejamos y  de la primer ecuación y reemplazamos en la segunda y despejamos

\( R=\sqrt{(x-D)^2+b^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)} \)                       (3)

pero esta ecuación no garantiza la tangencia en el punto \( (x,y) \), es decir x no puede ser cualquier valor sino que las tangentes en el punto  \( (x,y) \), tanto de la elipse como la de circulo deben ser iguales

\( \dfrac{dy(x)_{elipse}}{dx}=\dfrac{dy(x)_{circulo}}{dx} \)


\( \dfrac{-x}{\sqrt{R^2-(x-D)^2}}=\dfrac{b}{a^2}\dfrac{-x}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}} \)

esta es la tercer relacion necesaria para eliminar 2 de las tres  incógnitas x,y  de las tres ecuaciones, se resuelve una cuadrática para sacar el valor de x como función de a,b, D y R ,  reemplazando  ese valor en la tercera de las ecuaciones que presente te queda  R solamente  en función de a,b,y D




a mi me da  \( x=\dfrac{-2b^2D+\sqrt{4b^4D^2-4(a^2-b^2)^[b^2(R^2-D^2)-a^4]}}{2(a^2-b^2)} \)


 por como tomamos el sistema de referencia solo tomo la solución  con signo positivo


luego queda reemplazar en la ecuación 3  , simplificar y..... no se si se llega a algo tan elegante como las imágenes lo plantean... Seguro en algún lado habrá algún gazapo, creo que no esta en la idea general.

[ToniGim]

Gracias Richard, me pongo a estudiar tu solución

[ToniGim]

Muchas gracias Richard   

[ToniGim]

Hola otra vez Richard
La D no es una incógnita. Se trata de crear en Geogebra un deslizador llamado D y ver cómo varía R, x_0 , y_0  (punto de tangencia).
Se puede particularizar para el caso en que D=R (la circunferencia será tangente a la elipse, a  Ox-Oy.
Gracias por tu tiempo

[Richard R Richard]

Hola otra vez Richard
La D no es una incógnita.

Claro D es un dato ...

Se trata de crear en Geogebra un deslizador llamado D

ni idea de como ayudarte en esa tarea

y ver cómo varía R, x_0 , y_0  (punto de tangencia).

esas si son incógnitas  , son tres , por eso necesitas 3 ecuaciones

Se puede particularizar para el caso en que D=R (la circunferencia será tangente a la elipse, a  Ox-Oy.

Bueno Alli el sistema se simplifica un poco, algebraicamente, , pero no te evitas tener que resolver un sistema de ecuaciones de 3x3 porque ahora si D pasa a ser incógnita, ya que la igualas D a R y R  sigue siendo incognita.
Si fijas el valor de R a D, igualmente hay infinita combinacion de puntos de tangencia , un juego para cada valor de semiejes de elipse

la segunda ecuacion que postee

pasa a ser

\( x^2+y^2=2R \)

que es tangente a

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

en dos puntos.

pero  dependiendo de R puedes o bien no tocar la elipse o cruzarla en 4 puntos, así  que para establecer que se corte en solo dos puntos debes no solo igualar las ecuaciones \( y(x_o)_{elipse}=y(x_o)_{circulo} \) ,sino que a la vez debes hacer que la tangente de ambas curvas en el punto de corte sean iguales.


\( \dfrac{\partial\,y(x_o)_{elipse}}{\partial x}=\dfrac{\partial\,y(x_o)_{circulo}}{\partial x} \)

[Abdulai]

Si no me he equivocado...

\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( (x-D)^2+y^2 = R^2 \)

Reemplazando \( y \) en la 2da ecuación
\( x^2 \dfrac{b^2 - a^2}{a^2} - 2 D x - (b^2+D^2-R^2)=0 \)

Como el círculo debe ser tangente, la ec. debe tener solución única \( \therefore \) el discriminante de la cuadrática debe ser 0
\( D^2 + (b^2 + D^2 - R^2)\frac{b^2 - a^2}{a^2}= 0 \;\;\longrightarrow\;\; R= b \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{D^2}{b^2 - a^2}} \)

Reemplazando en la cuadrática, la coordenada x de tangencia resulta:  \(  x = \dfrac{a^2D}{a^2 - b^2} \) y la \( y \) : \( y=b\dfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}   \)

[hméndez]

Gracias Richard, me pongo a estudiar tu solución

Se puede llegar a la solución de la siguiente manera:

De la ecuación de la elipse y de la circunferencia

\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1 \)

\( (x-D)^2+y^2=R^2 \)

De estas es fácil eliminar \( y^2 \) y nos queda después de ordenar:

\( (1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2})x^2-2Dx+b^2+D^2-R^2=0 \)


que es una ecuación polinómica de 2do. grado en \( x \) cuyas 2 soluciones en general
representan las abscisas de los cuatro puntos de intersección entre la circunferencia y la elipse.
Dos ubicados por encima del eje X y otros dos simétricamente ubicados por debajo.

Si de esta ecuación imponemos que su determinante respecto de \( x \) sea igual a  0,
sus soluciones se reducirían a una (1). Esto corresponderá a la abscisa de los dos puntos de
tangencia entre las dos cónicas. Uno por encima y otro simétricamente ubicado por debajo del
eje X.

Anulando el discriminante:

\( 4D^2-4(1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2})(b^2+D^2-R^2)=0 \)



de aquí es muy fácil obtener la relación dada en la imagen que enviaste o despejar \( R \) que es lo pedido.

\( R=b\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{D^2}{a^2-b^2}} \)

Saludos
Uyyy Se me adelantó Abdulai