[nktclau]

Hola FORO!! 

Necesito por favor de su gran ayuda con el siguiente ejercicio. Dada la serie
\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\frac{i^4}{3^i}} \)

Debo determinar convergencia y en caso de ser posible hallar y probar su suma (usando inducción)

Usando excel, puedo ver que la sucesión de sumas parciales converge a \( 15 \) luego con eso determiné que es convergente.

Los términos de la serie, no me permiten, (debido a su complejidad) hallar una expresión para la sucesión de sumas parciales.

Entonces dado que sólo conocemos serie armónica, y nos han dado en el apunte series como la siguiente  (que es la que mas se acerca a este ejercicio) \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{i^2}{2^i}} \) que puedo usar sabiendo que es convergente.

Entonces quice usar el criterio de comparación (también dado) con esta serie \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{i^2}{2^i}} \) que se por el apunte que es convergente y trato de probar que

\( \displaystyle\frac{i^4}{3^i} <\displaystyle\frac{i^2}{2^i} \Longleftrightarrow{2^i \cdot i^2<3^i} \) y trato de probar por inducción sobre "i" que esto se verifica \( \forall{i} \in{\mathbb{N}} \)

Mirando con excel esto se verifica para \( i=1 \) y luego \( \forall{i}\geq{13} \)

Entonces lo puedo probar por inducción
En lo que es la Hipótesis Inductiva supuse verdadero que \( 2^i \cdot i^2<3^i \)

Y debo llegar a probar que \( 2^{i+1} \cdot (i+1)^2<3^{i+1} \)

Y es aqui donde he intentado varias veces pero no llego!!  arranque desde la hipótesis inductiva

\( 2^i \cdot i^2<3^i \)

Multiplico miembro a miembro por \( 2 \): \( \Longrightarrow{}\color{blue}{2}\color{black}.2^i \cdot i^2<3^i \cdot \color{blue}2\color{black}\Longleftrightarrow{}2^{i+1} \cdot i^2<2\cdot 3^i  \) y de ahí no he podido avanzar.

Gracias!

[Masacroso]

Observa una cosa: como una suma parcial es siempre finita entonces \( \sum_{k=0}^\infty x_k \) converge si y solo si \( \sum_{k=m}^\infty x_k \) converge, para cualquier \( m\in \mathbb{N} \) que elijamos. Visto eso entonces en tu caso sería suficiente con demostrar que \( 2^k\cdot k^2<3^k \) para todo \( k\geqslant m \) para algún \( m\in \mathbb{N} \). La desigualdad anterior también puede escribirse como \( k<(\sqrt{3/2})^k=e^{k \ln(\sqrt{3/2})} \), a ver si eso te da alguna idea

[nktclau]

Hola Masacroso antes que nada gracias por ayudarme!! 

Observa una cosa: como una suma parcial es siempre finita entonces \( \sum_{k=0}^\infty x_k \) converge si y solo si \( \sum_{k=m}^\infty x_k \) converge, para cualquier \( m\in \mathbb{N} \) que elijamos. Visto eso entonces en tu caso sería suficiente con demostrar que \( 2^k\cdot k^2<3^k \) para todo \( k\geqslant m \) para algún \( m\in \mathbb{N} \). La desigualdad anterior también puede escribirse como \( k<(\sqrt{3/2})^k=e^{k \ln(\sqrt{3/2})} \), a ver si eso te da alguna idea

Claro si le quito terminos a la serie esto no altera su convergencia. a ver....

\( k \in{\mathbb{N}} \) pero es mucho menor que la exponencial incluso si tomo \( k=1 \) con mas razón se verificará para algún \( m\geq{13} \) que sería el caso.

Será eso??
Gracias

[delmar]

Hola nktclau

La serie se corresponde con una sucesión de términos positivos, se puede aplicar el criterio del cociente :

Consiste en averiguar este límite \( \displaystyle\lim_{i \to{}\infty}{\displaystyle\frac{a_{i+1}}{a_i}} \)     donde \( a_i=\displaystyle\frac{i^4}{3^i} \) en caso el límite exista L, se tiene :

Si

\( L<1 \) la serie converge

\( L>1 \) diverge

\( L=1 \) el criterio no decide

En este caso L existe, adelante trata de hallarlo.

Saludos

[Masacroso]

Hola Masacroso antes que nada gracias por ayudarme!! 

Observa una cosa: como una suma parcial es siempre finita entonces \( \sum_{k=0}^\infty x_k \) converge si y solo si \( \sum_{k=m}^\infty x_k \) converge, para cualquier \( m\in \mathbb{N} \) que elijamos. Visto eso entonces en tu caso sería suficiente con demostrar que \( 2^k\cdot k^2<3^k \) para todo \( k\geqslant m \) para algún \( m\in \mathbb{N} \). La desigualdad anterior también puede escribirse como \( k<(\sqrt{3/2})^k=e^{k \ln(\sqrt{3/2})} \), a ver si eso te da alguna idea

Claro si le quito terminos a la serie esto no altera su convergencia. a ver....

\( k \in{\mathbb{N}} \) pero es mucho menor que la exponencial incluso si tomo \( k=1 \) con mas razón se verificará para algún \( m\geq{13} \) que sería el caso.

Será eso??
Gracias

Puedes razonar de la siguiente manera: como \( \lim_{x\to\infty}\frac{\exp\left(x\ln(\sqrt{3/2})\right)}{x}=\infty  \) entonces \( x<\exp\left(x\ln(\sqrt{3/2})\right) \) para todo \( x\geqslant M \) para algún \( M>0 \), de ahí deduces que

\( \displaystyle{
\sum_{k=\lceil M \rceil}^n \frac{k^4}{3^k}\leqslant \sum_{k=\lceil M \rceil}^n \frac{k^2}{2^k}\quad \text{ para todo }n\geqslant \lceil  M\rceil
} \)

de lo que se sigue la convergencia por el criterio de comparación. Ahora bien: utilizando esta estrategia no veo claro si se puede utilizar inducción.

Nota: ahí \( \lceil M \rceil \) representa el menor número natural mayor o igual a \( M \).

[Gustavo]

Hola.

\( \displaystyle\frac{i^4}{3^i} <\displaystyle\frac{i^2}{2^i} \Longleftrightarrow{2^i \cdot i^2<3^i} \) y trato de probar por inducción sobre "i" que esto se verifica \( \forall{i} \in{\mathbb{N}} \)

Mirando con excel esto se verifica para \( i=1 \) y luego \( \forall{i}\geq{13} \)

Entonces lo puedo probar por inducción
En lo que es la Hipótesis Inductiva supuse verdadero que \( 2^i \cdot i^2<3^i \)

Y debo llegar a probar que \( 2^{i+1} \cdot (i+1)^2<3^{i+1} \)

Y es aqui donde he intentado varias veces pero no llego!!  arranque desde la hipótesis inductiva

\( 2^i \cdot i^2<3^i \)

Multiplico miembro a miembro por \( 2 \): \( \Longrightarrow{}\color{blue}{2}\color{black}.2^i \cdot i^2<3^i \cdot \color{blue}2\color{black}\Longleftrightarrow{}2^{i+1} \cdot i^2<2\cdot 3^i  \) y de ahí no he podido avanzar.

Gracias!

También puedes notar lo siguiente para tu paso inductivo:

\( 2^{i+1}(i+1)^2 = 2^{i+1}(i^2+2i+1)=2\cdot {\color{blue} 2^ii^2 }+{\color{red}  2^i(4i+2)}.       \)

Podrías aplicar la hipótesis de inducción \( 2^ii^2<3^i \) en el término azul. En el término rojo necesitaríamos primero tener \( 4i+2 \le i^2 \). ¿Es eso cierto? ¿Lo es para algunos \( i \)?

Puedes pensarlo y si quieres lo seguimos discutiendo.

[nktclau]

Hola Masacroso, Delmar , Gustavo MUCHAS GRACIAS por la GRAN, GRAN AYUDA!!

Debo si o si probarlo por inducción no puedo aplicar límites y tampoco criterios, por eso se complicó

Hola.
En el término rojo necesitaríamos primero tener \( 4i+2 \le i^2 \). ¿Es eso cierto? ¿Lo es para algunos \( i \)?

Puedes pensarlo y si quieres lo seguimos discutiendo.

 \( 4i+2 \le i^2 \) es verdadero para todo \( i \in{\mathbb{N}}: i\geq{5} \)


pero no veo como concatenar todo Gracias Gustavo!

Saludos

[Ricardo Boza]

Hola,

Lo he hecho sin copiar lo de Gustavo.

\( n^2<\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^n \)

Se cumple para \( n=0 \).

Supongamos cierto para \( n=k \):         \( k^2<\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^k \)

Veamos que se cumple para \( n=k+1 \):         \( (k+1)^2<\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{k+1} \)

Se cumple si y sólo si se cumple: \( \color{blue}k^2\color{black}\color{red}+2k+1\color{black}<\dfrac{3}{2}\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^k=\Big(1+\dfrac{1}{2}\Big)\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^k=\color{blue}\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^k\color{black}\color{red}+\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^k \)

Sabemos por hipótesis de inducción que:  \( \dfrac{1}{2}k^2<\color{red}\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^k \)

Entonces hay que probar que   \( 2k+1<\dfrac{1}{2}k^2 \), porque entonces estaremos probando que \( 2k+1<\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^k \), que es lo que queremos.

Esto equivale a probar que a partir de un \( k_0 \) se da: \( 4k+2<k^2 \)

\( 4i+2 \le i^2 \) es verdadero para todo \( i \in{\mathbb{N}}: i\geq{5} \)

La prueba consistía en aplicar inducción dos veces.

No lo he hecho con \( i \) porque \( i \) en este caso lo confundo con la unidad imaginaria.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Una muy parecida:
\( \displaystyle \dfrac{i^4}{3^i} = (\dfrac{i}{3^{\frac{i}{8}}})^4 \cdot \dfrac{1}{(\sqrt{3})^i}  \)
Si probamos que \( (\dfrac{i}{3^{\frac{i}{8}}})^4 < 1 \) a partir de un número tenemos la convergencia:

Miramos los múltiplos de 8 y vemos que para \(  i = 24  \) tenemos que :
\(  \dfrac{i}{3^{\frac{i}{8}}} = \dfrac{24}{3^3} < 1 \) supongamos cierto para \( i \geq 24  \) y lo verificamos para \( i + 1  \):
\( \dfrac{i+1}{3^{\frac{i+1}{8}}} = \dfrac{i}{3^{\frac{i}{8}}} \cdot \dfrac{1+\dfrac{1}{i}}{3^{\frac{1}{8}}} < \dfrac{1+\dfrac{1}{i}}{3^{\frac{1}{8}}} \leq \dfrac{1+\dfrac{1}{24}}{3^{\frac{1}{8}}}  \)
Por la desigualdad de Bernoulli  tenemos \( 3^{\dfrac{1}{8}} =(1+2)^{\frac{1}{8}} \geq 1+\dfrac{1}{8} \cdot 2 = 1+\dfrac{1}{4}  \).
Tenemos entonces que para todo \( i \geq 24 \) se tiene \( \dfrac{i}{3^{\frac{i}{8}}} < 1  \) y en consecuencia \( (\dfrac{i}{3^{\frac{i}{8}}})^4 < 1  \)

[Gustavo]

Hola.

\( 4i+2 \le i^2 \) es verdadero para todo \( i \in{\mathbb{N}}: i\geq{5} \)

pero no veo como concatenar todo Gracias Gustavo!

Bien! El siguiente paso sería usar esa desigualdad para obtener

\(
2^{i+1}(i+1)^2 = 2 \cdot 2^ii^2 + 2^i(4i+2) \le 2\cdot 2^ii^2+2^ii^2 = 3\cdot 2^i i^2.
\)

Ahora aplica la hipótesis de inducción en el último término. Al comparar los dos extremos de la cadena de desigualdades notamos que probamos lo que queríamos.

No olvides que también hay que probar algún caso base, y no dudes en preguntar si hay dudas.