Autor Tema: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no

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25 Abril, 2021, 07:25 pm
Respuesta #50

manooooh

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Hola

Yo creo que me voy a rendir ya. Porque no hago más que repetirme y creo que ya no lleva a ninguna parte. Si estás contento con como haces las cosas pues ya está.

No es eso. Quiero buscar un punto de equilibrio entre lo que dicen la mayoría de lógicos, y lo que tratamos de llevar a un curso de 1er año de Ingeniería. Si te molesta que haga eso, te pido disculpas, no es mi intención aburrirte sino aprender a cómo parchear posibles problemas.

Pues creo recordar que pusiste alguna vez un "razonamiento" donde había una premisa que no se usaba. Por lo mismo no debería contar como razonamiento pues no se apoya sobre todas las premisas.

Si alguna vez dije eso, pido perdón porque no es lo que quise decir. Vuelvo:

Sabemos que un razonamiento es un conjunto de proposiciones en las cuales, una de ellas llamada conclusión, se basa sobre las demás llamadas premisas.

Cuando hablo de se basa sobre las demás llamadas premisas, no se sobreeentiende que son todas. Por ejemplo, si te pregunto si en el proceso de fabricación de una silla usaste madera, me dirías que sí, porque en algún momento de la fabricación lo usaste, no en cada parte del proceso de fabricación.

De todas maneras te presento la prueba del razonamiento \( q\therefore p\to p \) en base a las propiedades de la Tabla:

\(
\begin{array}{c|l|c}
&&\text{Leyes lógicas}\\\hline
1&\text{Involución}&\neg(\neg p)=p\\\hline
2&\text{Conmutatividad}&p\land q\equiv q\land p\qquad p\lor q\equiv q\lor p \\\hline
3&\text{Asociatividad}&p\land(q\land r)\equiv(p\land q)\land r\qquad p\lor(q\lor r)\equiv(p\lor q)\lor r \\\hline
4&\text{Distributividad}&\begin{array}{c}p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)\\p\lor(q\land r)\equiv(p\lor q)\land(p\lor r)\end{array} \\\hline
5&\text{Idempotencia}&p\land p\equiv p\qquad p\lor p\equiv p \\\hline
6&\text{DeMorgan}&\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\qquad\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q \\\hline
7&\text{Absorción}&p\land(p\lor q)\equiv p\qquad p\lor(p\land q)\equiv p \\\hline
8&\text{Identidad}&p\land V\equiv p\qquad p\lor F\equiv p \\\hline
9&\text{Dominación}&p\lor V\equiv V\qquad p\land F\equiv F \\\hline
10&\text{Bicondicional}&p\iff q\equiv p\to q\land q\to p \\\hline
11&\text{Condicional}&p\to q\equiv\neg p\lor q \\\hline
12&\text{Tercero excluido}&p\lor\neg p\equiv V \\\hline
13&\text{Simplificación}&p\land q\to p\equiv V \\\hline
14&\text{Adición}&p\to p\lor q\equiv V \\\\
&&\text{Principales reglas de inferencia}\\\hline
1&\text{Modus Ponens}&A\to B,A\therefore B \\\hline
2&\text{Modus Tollens}&A\to B,\neg B\therefore\neg A \\\hline
3&\text{Silogismo hipotético}&A\to B,B\to C\therefore A\to C \\\hline
4&\text{Silogismo disyuntivo}&A\lor B,\neg A\therefore B \\\hline
5&\text{Ley de Combinación}&A,B\therefore A\land B \\\hline
6&\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
7&\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
8&\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
9&\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

y en base al método demostrativo:

Explicación del método demostrativo
Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.
[cerrar]

\(
\begin{array}{cll}
1)&q&\text{Premisa}\\
2)&q\land V&\text{Identidad 1) (ley 8)}\\
3)&q\land(\neg p\lor p)&\text{Tercero excluido 2) (ley 12)}\\
4)&\neg p\lor p&\text{Simplificación 3) (ley 13)}\\
5)&p\to p&\text{Equivalencia del condicional 4) (ley 11)}\\
\end{array}
 \)

Comprobamos que nos basamos en la (única) premisa para poder demostrarlo, por lo que se considera un razonamiento (válido).

Al margen de esto, esa restricción es algo problemática a nivel técnico, más que nada porque tienes herramientas como el teorema de deducción que dejan de estar disponibles.

¿Cuál restricción? ¿Por qué deja de estar disponible?

Yo te puedo decir que la respuesta ortodoxa es que \[ \iff \] y \[ \equiv \] no significan lo mismo (y si no te lo crees, te reto a encontrar un libro o alguna fuente donde diga explícitamente que son lo mismo, o que uno es una abreviatura del otro). Lo primero es un símbolo lógico del sistema formal, y lo segundo es un símbolo del metalenguaje (es decir, no puede aparecer en una fórmula). Cuando escribimos \[ A \equiv B \] quiere decir que \[ A \vdash B \] y \[ B \vdash A \], es decir, \[ A \] y \[ B \] son interderivables (como lo que pones al final del mensaje sobre \[ \neg \neg p \] y \[ p \], lo puedes escribir \[ \neg \neg p \equiv p \]). (...)

Entiendo perfectamente lo que indicas. Pero recuerda que no entramos en ese nivel de detalles en el curso. Si lo prefieres, puedo usar en todos lados \( \iff \) en vez de \( \equiv \), no tengo problema.

El problema de considerar \[ \iff \] y \[ \equiv \] lo mismo, es que necesitas alguna regla que te permita pasar de \[ A \iff B \] a \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \], y en tu lista no hay ninguna. La tautología \[ (A \iff B) \iff (A \to B) \wedge (B \to A) \] no te sirve aquí porque no es una regla. Es decir, puedes poner eso en cualquier momento en una demostración, pero si tienes \[ A \iff B \] en una demostración, con tus reglas no hay manera posible de deducir \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \].

Pero la regla que nos permite pasar de \( p\iff q \) a \( (p\to q)\land(q\to p) \) es la llamada Bicondicional, que es la ley lógica nº 10 de la Tabla. ¿Por qué dices que no existe tal regla? Y aunque no fuera una regla de inferencia, te invito a plantear un razonamiento del cual no pueda demostrarlo a partir de solamente las leyes y reglas que he puesto, porque si en un razonamiento tenemos \( (\forall x\,p(x))\iff(\exists y\,q(y)) \) por la ley 10 se puede pasar a \( [(\forall x\,p(x))\to(\exists y\,q(y))]\land[(\exists y\,q(y))\to(\forall x\,p(x))] \).

(...) Por otra parte no me convence lo de engorroso. ¿No te parece igual de engorroso \[ (A \to B) \to (C \to D) \] o cosas así? Sin embargo no se introduce otro símbolo "sinónimo" de \[ \to \], a pesar de que normalmente \[ \to \] se usa bastante más que \[ \iff \].

Sí, es igual de engorroso, pero que \( \to \) se use bastante más que \( \iff \) no implica que \( \to \) aparezca más veces en vecindades junto a \( \to \) que como aparece \( \iff \). Al menos en nuestro curso no.

Es verdad que modus ponens no va en los dos sentidos, pero igualmente se puede convertir en una tautología: \[ (p \wedge (p \to q))\to q \] es una tautología. Por otro lado lo que significa el símbolo \[ \equiv \] (en la versión ortodoxa de la lógica matemática) es precisamente lo que apuntas al final, que el razonamiento va en ambos sentidos. Y no hay tan pocos, de hecho son infinitos (para empezar, todas las "leyes lógica" de tu lista).

¿Por qué usas comillas para referirte a las leyes lógicas de la lista?

Pero es que las leyes lógicas también sirven si pones cuantificadores. Es decir, por ejemplo, es verdad que \[ \neg \neg (\forall x p(x)) \] es lógicamente equivalente a \[ \forall x p(x) \] (o si lo prefieres, \[ (\neg \neg (\forall x p(x)) \iff \forall x p(x) \] es una tautología). Y esto debe poder demostrarse en el cálculo deductivo.

Es correcto. No sé en qué punto dije lo contrario y me gustaría encontrarlo así me retracto. Entiendo a lo que vas, porque según nosotros deberíamos ser capaces de poder demostrarlo por tablas de verdad, pero es imposible. Hay que hacerlo pensando en razonamientos, pero al principio dijimos que es una ley lógica, y no todas las leyes lógicas son razonamientos, por lo que aquí has descubierto un hueco de la teoría que llevamos adelante, ¿no?

Tampoco es que me moleste lo de "categórico", es que es terminología un tanto obsoleta desde mi punto de vista. En cualquier caso, como dije al principio yo me rindo ya. Si estás satisfecho con tu manera de proceder pues ya está bien.

No quiero que te rindas. Como dije antes, a partir de ahora voy a usar siempre \( \iff \) para no referirme a metasímbolos, pero no quiero dejar de leerte, porque me aportas mucho.

Saludos

Editado

25 Abril, 2021, 07:42 pm
Respuesta #51

manooooh

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He cambiado una parte del mensaje anterior en rojo.

02 Mayo, 2021, 08:38 pm
Respuesta #52

geómetracat

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\(
\begin{array}{cll}
1)&q&\text{Premisa}\\
2)&q\land V&\text{Identidad 1) (ley 8)}\\
3)&q\land(\neg p\lor p)&\text{Tercero excluido 2) (ley 12)}\\
4)&\neg p\lor p&\text{Simplificación 3) (ley 13)}\\
5)&p\to p&\text{Equivalencia del condicional 4) (ley 11)}\\
\end{array}
 \)

Comprobamos que nos basamos en la (única) premisa para poder demostrarlo, por lo que se considera un razonamiento (válido).
Es verdad, aunque es algo tramposo en el sentido de que en realidad \[ p \to p \] es demostrable (y una tautología) independientemente de la premisa \[ q \]. En tu demostración la haces aparecer pero en realidad debería ser superflua. De hecho, deberías admitir como axioma \[ V \] y entonces no sería necesario usar la premisa, porque en el fondo solamente la usas para deducir \[ V \].

Citar
¿Cuál restricción? ¿Por qué deja de estar disponible?
Que no admitas razonamientos sin premisas. Entonces ya no puedes decir (en principio) que si \[ \varphi \vdash \psi \] entonces \[ \vdash \varphi \to \psi \], porque para ti lo último no es un razonamiento.

Citar
Yo te puedo decir que la respuesta ortodoxa es que \[ \iff \] y \[ \equiv \] no significan lo mismo (y si no te lo crees, te reto a encontrar un libro o alguna fuente donde diga explícitamente que son lo mismo, o que uno es una abreviatura del otro). Lo primero es un símbolo lógico del sistema formal, y lo segundo es un símbolo del metalenguaje (es decir, no puede aparecer en una fórmula). Cuando escribimos \[ A \equiv B \] quiere decir que \[ A \vdash B \] y \[ B \vdash A \], es decir, \[ A \] y \[ B \] son interderivables (como lo que pones al final del mensaje sobre \[ \neg \neg p \] y \[ p \], lo puedes escribir \[ \neg \neg p \equiv p \]). (...)

Entiendo perfectamente lo que indicas. Pero recuerda que no entramos en ese nivel de detalles en el curso. Si lo prefieres, puedo usar en todos lados \( \iff \) en vez de \( \equiv \), no tengo problema.

El problema de considerar \[ \iff \] y \[ \equiv \] lo mismo, es que necesitas alguna regla que te permita pasar de \[ A \iff B \] a \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \], y en tu lista no hay ninguna. La tautología \[ (A \iff B) \iff (A \to B) \wedge (B \to A) \] no te sirve aquí porque no es una regla. Es decir, puedes poner eso en cualquier momento en una demostración, pero si tienes \[ A \iff B \] en una demostración, con tus reglas no hay manera posible de deducir \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \].

Pero la regla que nos permite pasar de \( p\iff q \) a \( (p\to q)\land(q\to p) \) es la llamada Bicondicional, que es la ley lógica nº 10 de la Tabla. ¿Por qué dices que no existe tal regla? Y aunque no fuera una regla de inferencia, te invito a plantear un razonamiento del cual no pueda demostrarlo a partir de solamente las leyes y reglas que he puesto, porque si en un razonamiento tenemos \( (\forall x\,p(x))\iff(\exists y\,q(y)) \) por la ley 10 se puede pasar a \( [(\forall x\,p(x))\to(\exists y\,q(y))]\land[(\exists y\,q(y))\to(\forall x\,p(x))] \).

(...) Por otra parte no me convence lo de engorroso. ¿No te parece igual de engorroso \[ (A \to B) \to (C \to D) \] o cosas así? Sin embargo no se introduce otro símbolo "sinónimo" de \[ \to \], a pesar de que normalmente \[ \to \] se usa bastante más que \[ \iff \].

Sí, es igual de engorroso, pero que \( \to \) se use bastante más que \( \iff \) no implica que \( \to \) aparezca más veces en vecindades junto a \( \to \) que como aparece \( \iff \). Al menos en nuestro curso no.
Para mí este es el punto más importante y que me gustaría que entendieras. \[ \iff \] es un símbolo del lenguaje formal de la lógica. Entonces, me dices que tienes una tautología \[ (p \iff q) \iff (p \to q) \wedge (q \to p)  \]. La pregunta entonces es, ¿cómo das una demostración formal de que bajo la premisa \[ p \iff q \] puedes deducir \[ (p \to q) \wedge (q \to p) \]? Si solamente tienes a disposición esa tautología no lo puedes hacer. Ímplicitamente estás asumiendo que sabes que el símbolo \[ \iff \] significa "si y solo si", pero una demostración formal no debe hacer referencia al significado de los símbolos, solamente usar las reglas disponibles.

Pongamos por caso que invento un nuevo conector lógico \[ \bullet \], de manera que \[ p \bullet q \] es siempre verdadero, independientemente del valor de verdad de \[ p \] y de \[ q \]. Entonces, todas las leyes lógicas de tu lista siguen siendo tautologías si sustituyes \[ \iff \] (y \[ \equiv \]) por \[ \bullet \]. Ahora ya no es cierto que \[ p \bullet q \vdash (p \to q) \wedge (q \to p) \], porque bajo la valoración \[ p=V, q=F \] la premisa es verdadera pero la conclusión falsa. Sin embargo, en principio esto debería ser demostrable  si es que antes lo era \[ p \iff q \vdash (p \to q) \wedge (q \to p) \] porque lo único que he hecho es darte una lista de reglas que es exactamente idéntica a la que tenías antes pero cambiando \[ \iff \] por \[ \bullet \], es decir, he cambiado un símbolo por otro. Como una demostración formal es algo sintáctico que solamente hace referencia a la forma de las reglas y no a si un símbolo en concreto es una doble flechita o un punto gordo, ni al significado que le quiera dar (tablas de verdad), las demostraciones que se pueden hacer en ambos casos deberían ser idénticas, simplemente cambiado la doble flechita por el punto gordo. Esto prueba que, o bien tus demostraciones formales no son realmente demostraciones formales en cuanto a que tienes en cuenta la semántica de los símbolos del lenguaje, o bien que a pesar de que digas que \[ \iff \] y \[ \equiv \] son lo mismo en realidad no los tomas como lo mismo.


Citar
¿Por qué usas comillas para referirte a las leyes lógicas de la lista?
No sé en qué estaba pensando, no hagas caso.

Citar
Es correcto. No sé en qué punto dije lo contrario y me gustaría encontrarlo así me retracto. Entiendo a lo que vas, porque según nosotros deberíamos ser capaces de poder demostrarlo por tablas de verdad, pero es imposible. Hay que hacerlo pensando en razonamientos, pero al principio dijimos que es una ley lógica, y no todas las leyes lógicas son razonamientos, por lo que aquí has descubierto un hueco de la teoría que llevamos adelante, ¿no?

Parece que sí, aunque no era mi intención encontrar un hueco aquí, la verdad.
En principio, no puedes demostrar por tablas de verdad la validez de razonamientos de lógica de primer orden, que involucren cuantificadores. La semántica de la lógica de primer orden es más complicada que la de la lógica proposicional. Pero eso tampoco quiere decir que solamente se pueda probar la validez usando una demostración formal en algún cálculo deductivo. Sí que se puede razonar semánticamente.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)