Hola
A ver que os parece esta nueva ocurrencia
En primer lugar y a estas alturas sería bueno que escribieses las ideas en el foro y no en PDFs adjuntos. Eso facilita su lectura. Sobre todo cuando, como en este caso, son documentos tan cortitos.
En cuanto a su contenido... pues el razonamiento está mal desde el principio. Pretendes probar el caso \( n=3 \) del UTF con lo siguiente:
1- Proposición.
Si \( n\geq 2 \) es entero, el número \( (a^3+b^3)^{1/n} \) con \( a \) y \( b \) enteros y positivos, es irracional.
Si fuese \( (a^3+b^3)^{1/n}=p/q \) racional irreducible, los números \( p \) y \( q \) serían primos entre si. Se cumpliría \( a^3+b^3=p^n/q^n \), y como \( a^3 + b^3 \) es entero positivo, \( q^n \) sería divisor de \( p^n \). Ahora bien, si \( p \) y \( q \) son primos entre si, también son primos entre si sus potencias \( n \)-simas y sus razones no pueden ser números enteros. En consecuencia \( (a^3+b^3)^{1/n} \) no puede ser un número racional, y contrariamente a lo supuesto, será irracional.
Por resumir si \( q=1 \), no hay ninguna contradicción y... fin del argumento.
Como comentarios adicionales.
Spoiler
¿No te das cuenta que en lo que has escrito no influye para nada que el exponente sea \( 3 \) ó \( 2 \) (o incluso 1)? Es decir si estuviese bien habrías probado que también es imposible que \( (a^2+b^2)^{1/2} \) sea entero. Pero en ese caso sabemos que si es posible. Así eso debería de hacer saltar todas tus alarmas y darte cuenta de que estas cometiendo algún error gordo.
Saludos.
Yo empiezo diciendo lo que sigue:
1.-Proposición
"Si \( n \), mayor o igual que 2, es entero, el número \( (a^3+b^3)^{1/n} \) con a \( a \) y \( b \) enteros y positivos, es irracional."
Ah, perdona, que lo habías entendido, no había leído la respuesta bien.
Spoiler
Pero es igual, también puedes decir que son dos números complejos que suman un entero positivo; existe tal cosa, pero aunque no existiera, da igual, pues lo único que usas es que es un número positivo, utilizas el paréntesis en bloque sin desgranar nada, no importa lo que haya dentro, en el razonamiento no influye. De hecho el razonamiento es falso aunque el teorema sea verdadero; es verdadero porque está demostrado, pero no por ese razonamiento.
Te lo explico de otra manera.
Imagina que ahora mismo llega una persona, sea Pepe, que encuentra un error en la prueba del Teorema. Ya no se sabe si es cierto o falso; y tampoco se sabe si tiene razón Wiles o Pepe, pues podría llegar Juan y quitarle la razón Pepe. Que pase esto es muy difícil, pero no se puede afirmar que sea imposible que pase.
¿Puedes hacer el mismo razonamiento sin conocer el final de la película? Sí, porque las potencias de dos enteros positivos siempre dan un positivo, eso si se sabe. Por tanto, puedes seguir usando el garabato \( (a^{3}+b^{3})
\) para indicar que es un positivo. Y como en el transcurso de la demostración no sacas de dentro del paréntesis nada, pues también puedes usar cualquier otro garabato mientras digas que eso es algún número positivo.
Si lo haces, encuentras muchos ejemplos donde la cosa funciona, como en el ejemplo que ponía con el garabato igual a 8 y “n=3”.
¿Le dirías a Pepe que no tiene razón, se lo dirías a Wiles o, por el contrario, no podrías afirmar nada seguro?
Lo “malo” de este problema, es que ya se sabe el final, y eso lleva con frecuencia a cometer errores lógicos que no se comenten en otros problemas en los que no se sabe si la conjetura es cierta o falsa.
Saludos.
Hola, simpleimpar.
Ya sé que la respuesta va dirigida a Luis, pero por comentar una cosa (si esto ya te lo hubiera comentado él en algún hilo, pues no me hagas ni caso).
La primera proposición dice, «Si “n” mayor que 2, el número \( (a^{3}+b^{3})^{1/n}
\) con “a,b” enteros positivos es irracional».
Bien. Entonoces, si al número ése le damos un nombre, por ejemplo, \( (a^{3}+b^{3})^{1/n}=c
\), que implica \( (a^{3}+b^{3})=c^{n}
\), con n= 3 la primera proposición ya demostraría por sí sola el caso particular n=3 (sin pensar en inducciones ni nada de lo que sigue). Supongo que de esa implicación te das cuenta, pues, si “a,b,c” fueran racionales no enteros (enteros o no) es fácil ver que implicaría que también existiera la igualdad para enteros; luego demostrando que alguno tiene que ser irracional por fuerza, ya estaría demostrado el caso.
Este caso, n=3, no es tan complicado ni mucho menos como el caso general, pero las demostraciones existentes para él tampoco es que sean unas simplezas. ¿Has probado primero a intentar este caso paritcular? Simplmente supondría escribir 3 en vez de “n” e intentar demostrar la misma proposición que haces.
Aquí en el foro ha habido muchos intentos del caso n=3 (yo mismo lo intenté una vez) y nadie ha conseguido una demostración distinta de las que ya existen. Sí que se ha conseguido con el caso n=4, que es más sencillo. Si lo lograras sería todo un éxito (un éxito en el foro, no para salir en la tele).
Y si, además, consiguieras que fuera una demostración muy sencilla y corta, a lo mejor hasta sí alcanzaría popularidad más allá del foro.
*Un apunte para que se vea lo fácil que es meter la pata al hablar y decir cosas ilógicas sin querer, cosas que no tienen por qué ser verdad (en lo cual soy un maestro)
Spoiler
Digo en ahí arriba:
«si “a,b,c” fueran racionales es fácil ver que implicaría que también existiera la igualdad para enteros; luego demostrando que alguno tiene que ser irracional por fuerza, ya estaría demostrado el caso»
Aunque es cierto que eso ocurre, no es verdad por lo que he dicho, no está ahí la razón (no debería haber usado la palabra “luego” sin que le siga una coma) pues sí es cierto (porque digo directamente que es algo sabido) que siempre, en todos los casos en que los tres fueran racionales, existirán tres enteros, pero la consecuencia que saco después, ésta, “luego demostrando que alguno tiene que ser irracional por fuerza, ya estaría demostrado el caso”, no tiene por qué ser verdad; es verdad por una definición que no menciono, por la propiedad de cerradura, que consiste en que la suma o resta de dos racionales da siempre otro racional, no puede dar un irracional:
Para enteros a,b,c,d distintos de cero \( \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+cb}{bd}
\): debajo tenemos bd, y el producto de enteros también da un entero por definición; como la suma de enteros también es cerrada, igualmente será entero el numerador y, por tanto, la suma de dos racionales es otro racional.
Bueno, digo “por fuerza”, ahora que lo veo, entonces sí estoy diciendo que no existiría otra posibilidad, pero si no dejara claro eso, no (es que me fío muy poco de lo que digo y ya hasta me desdigo)
Saludos.