Discusión semi pública
a) \( -6<2x-4<2 \).
Solución:
\( -6<2x-4<2\Leftrightarrow -2<2x<6\Leftrightarrow -1<x<3\Leftrightarrow x\in ]-1,3[. \)
b) \( \dfrac{1}{x-2} \)
Solución:
\( \dfrac{1}{x-2}>0\Leftrightarrow x-2>0\Leftrightarrow x>2\Leftrightarrow x\in ]2,\infty[ \)
c) \( |2x+3|>9 \)
Solución:
\( |2x+3|>9\Leftrightarrow 2x+3>9 \) o \( 2x+3<-9 \)
\( \Leftrightarrow 2x>6 \) o \( 2x<-12 \)
\( \Leftrightarrow x>3 \) o \( x<-6 \)
\( \Leftrightarrow x\in ]-\infty,-6[\cup ]3,\infty[. \)
d) \( 2<|2x-1|<3 \)
Solución:
Caso 1: Si \( 2x-1\geq 0 \), esto es, \( \color{red}x\geq 1/2\Leftrightarrow x\in [1/2,\infty[ \).
\( 2<|2x-1|<3\Leftrightarrow 2<2x-1<3 \)
\( \Leftrightarrow 3<2x<4 \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}<x<2 \)
Entonces \( x\in S_1:=\color{red}[1/2,\infty[\cap\color{black}]3/2,2[=]3/2,2[ \)
Caso 2: Si \( 2x-1< 0 \), esto es, \( \color{red}x< 1/2\Leftrightarrow x\in -\infty,1/2[ \).
\( 2<|2x-1|<3\Leftrightarrow 2<-(2x-1)<3 \)
\( \Leftrightarrow 2<-2x+1<3 \)
\( \Leftrightarrow 1<-2x<2 \)
\( \Leftrightarrow -1/2\color{red}>\color{black}x\color{red}>\color{black}-1 \)
Entonces \( x\in S_2:=\color{red}]-\infty,1/2[\cap\color{black}]-1/2,-1[=]-1/2,-1[ \)
Por lo tanto, de ambos casos concluimos que \( x\in S_1\cup S_2= ]3/2,2[\cup ]-1,-1/2[ \)
e) \( (x+5)^2\leq(x-2)*(x+3) \)
Solución
\( (x+5)^2\leq(x-2)*(x+3)\Leftrightarrow (x+5)^2-(x-2)*(x+3)\leq 0 \)
\( \Leftrightarrow 9x+31\leq 0 \)
\( \Leftrightarrow x\leq -31/9 \)
\( \Leftrightarrow x\in ]-\infty, -31/9] \)
e) \( \dfrac{2x+10}{2x^3+x}\leq 0 \)
Solución:
\( \dfrac{2x+10}{2x^3+x}\leq 0\Leftrightarrow \dfrac{2x+10}{x(2x^2+1)}\leq 0 \)
\( \begin{array}{c|c|c|c|c|c}
&&-5&&0&\\ \hline
2x+10&-&0&+&+&+\\ \hline
x&-&-&-&0&+\\ \hline
2x^2+1&+&+&+&+&+\\ \hline \hline
\dfrac{2x+10}{2x^3+x}&+&0&-&\color{red}\nexists&+\\ \hline
\end{array} \)
por tanto \( x\in [-5,0[ \)
Nota que el factor \( 2x^2+1 \) no era necesario en la tabla porque sabemos que siempre es positivo.
w) \( |x+2|+|x-1|\leq 5 \).
Solución:
Queremos quitarnos de encima los valores absolutos. Para esto debemos analizar en qué conjuntos las expresiones dentro de los valores absolutos son positivas y negaticas.
\( x+2\geq 0\Leftrightarrow x\geq -2 \) y \( x+2< 0\Leftrightarrow x< -2 \).
\( x-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 1 \) y \( x-1< 0\Leftrightarrow x< 1 \).
Tenemos tres casos:
Caso 1: \( x\geq 1\Leftrightarrow x\in \color{red}[1,\infty[ \).
En este caso \( x+2\geq 0 \) y \( x-1\geq 0 \). Luego
\( |x+2|+|x-1|\leq 5\Leftrightarrow x+2+x-1\leq 5 \)
\( \Leftrightarrow 2x+1\leq 5 \)
\( \Leftrightarrow 2x\leq 4 \)
\( \Leftrightarrow x\leq 2 \)
\( \Leftrightarrow x\in ]-\infty,2] \)
Este último conjunto debemos intersectarlo con la restricción del caso, quedando:
\( S_1=\color{red}[1,\infty[\cap \color{black}]-\infty,2]=[1,2] \).
Caso 2: \( x\leq -2\Leftrightarrow x\in \color{red}[-\infty,-2[ \).
En este caso \( x+2\leq 0 \) y \( x-1\leq 0 \). Luego
\( |x+2|+|x-1|\leq 5\Leftrightarrow -(x+2)-(x-1)\leq 5 \)
\( \Leftrightarrow -2x-1\leq 5 \)
\( \Leftrightarrow -2x\leq 6 \)
\( \Leftrightarrow x\geq -3 \)
\( \Leftrightarrow x\in [-3,\infty[ \)
Este último conjunto debemos intersectarlo con la restricción del caso, quedando:
\( S_2=\color{red}]-\infty,-2]\color{black}\cap [-3,\infty[=[-3,-2] \).
Caso 3: \( -2<x< 1\Leftrightarrow x\in \color{red}]-2,1[ \).
En este caso \( x+2\geq 0 \) y \( x-1\leq 0 \). Luego
\( |x+2|+|x-1|\leq 5\Leftrightarrow x+2-(x-1)\leq 5 \)
\( \Leftrightarrow 3\leq 5 \)
\( \Leftrightarrow x\in\mathbb{R} \) (obviamente se cumple independiente del valor de \( x \))
\( \Leftrightarrow x\in\mathbb{R} \)
Este último conjunto debemos intersectarlo con la restricción del caso, quedando:
\( S_3=\color{red}]-2,1[\cap \color{black}\mathbb{R}=]-2,1[ \).
Por lo tanto, el conjunto solución del problema es:
\( S=S_1\cup S_2\cup S_3=[1,2]\cup [-3,-2]\cup (-2,1)=[-3,2] \)
