Aplicamos el lema con \( c=r \) y \( h=tp^{\alpha-1} \) donde \( t \) es juega el rol de parámetro (a determinar). Se tiene que:
\( f(a)=f(r+tp^{\alpha-1})=f(r)+tp^{\alpha-1}f'(r)+t^2p^{2\alpha-2}q \)
\( \alpha\geq 2\Longrightarrow \alpha+\alpha\geq 2+\alpha\Longrightarrow 2\alpha-2\geq \alpha\Longrightarrow p^{2\alpha-2}\equiv 0\pmod{p^\alpha} \). Por lo tanto:
\( f(a)\equiv f(r)+tp^{\alpha-1}f'(r)\pmod{p^\alpha} \)
Por hipótesis, \( r \) es solución de \( f(x)\equiv 0\pmod{p^{\alpha-1}} \) por lo que podemos escribir \( f(r)=kp^{\alpha-1} \) donde \( \displaystyle k=\frac{f(r)}{p^{\alpha-1}} \). La congruencia se convierte en:
\( \displaystyle f(a)\equiv \big(k+tf'(r)\big)p^{\alpha-1}\equiv \Big(\frac{f(r)}{p^{\alpha-1}}+tf'(r)\Big)p^{\alpha-1}\pmod{p^{\alpha}} \)
En consecuencia,
\( {\displaystyle f(a)\equiv 0\pmod{p^\alpha}\Longleftrightarrow \Big(\frac{f(r)}{p^{\alpha-1}}+tf'(r)\Big)p^{\alpha-1}\equiv 0\pmod{p^{\alpha}}\Longleftrightarrow \Big(\frac{f(r)}{p^{\alpha-1}}+tf'(r)\Big)p^{\alpha-1}=\text{$m\cdot p^\alpha$ para alg\'un $m\in \mathbb{Z}$}\Longleftrightarrow \frac{f(r)}{p^{\alpha-1}}+tf'(r)=p\cdot m} \)
O sea que \( f(a)\equiv 0\pmod{p^\alpha} \) si y sólo si:
\( \fbox{$\displaystyle\frac{f(r)}{p^{\alpha-1}}+tf'(r)\equiv 0\pmod{p}$}\hspace{3.5cm}(3) \)
La congruencia \( (3) \) es de la forma \( ax\equiv b\pmod{n} \) y tendrá solución si y sólo si \( d=\text{mcd}(a,n)|b \). Si \( d=1 \) (o sea, si \( a \) y \( n \) son coprimos) la solución es única. En nuestro contexto \( \displaystyle a=f'(r),\;b=-\frac{f(r)}{p^{\alpha-1}},\;x=t,\;n=\text{$p$ primo} \).
1) La condición \( \text{mcd}\big(f'(r),p\big)=1 \) implica que \( p\nmid f'(r)\Longleftrightarrow f'(r)\not\equiv 0\pmod{p} \). En este caso hay una única solución módulo \( p \) y si elegimos \( t \) tal que \( 0\leq t<p \) el número \( a=tp^{\alpha-1}+r \) satisface la condición i.
2) y 3) Si \( \text{mcd}\big(f'(r),p\big)\neq 1 \) entonces como \( p \) es primo, \( \text{mcd}\big(f'(r),p\big)=p \) por lo que \( p|f'(r)\Longleftrightarrow f'(r)\equiv 0\pmod{p} \). La congruencia queda:
\( {\displaystyle\frac{f(r)}{p^{\alpha-1}}\equiv 0\pmod{p}\Longleftrightarrow \frac{f(r)}{p^{\alpha-1}}\cdot p^{\alpha-1}\equiv 0\cdot p^{\alpha-1}\pmod{p^{\alpha-1}\cdot p}\Longleftrightarrow f(r)\equiv 0\pmod{p^\alpha}} \)
Por lo tanto, la congruencia \( (3) \) va a tener solución si y sólo si \( f(r)\equiv 0\pmod{p^\alpha} \). En dicho caso, cualquier \( t \) que elija para \( t=0,1,\dots,p-1 \) verifica la congruencia \( (3) \) y por lo tanto, para cada \( t \) tendré un \( a \) correspondiente en el rango \( 0\leq a<p^\alpha \). Luego, hay \( p \) valores de \( a \) que satisfacen i. y ii. Si \( f(r)\not\equiv 0\pmod{p^\alpha} \) la congruencia \( (3) \) no tiene solución (y por lo tanto es imposible hallar \( a \) en las condiciones exigidas).
