Hola Leo...
He descubierto una fórmula en el que recurriendo a las funciones trigonométricas puedes obtener valores enteros de forma parecida al "pequeño teorema de Fermat". Ya te mostré una vez que esto se puede factorizar:
\( N(n) = (a+b)^n-a^n-b^n \)
de 2 formas, tomando "n" como número compuesto y tomando "n" como número primo. Si tomamos n=p como número primo, obtendrás una factorización en el que el factor: \( a^2+ab+b^2 \) siempre aparece...
...Desde luego "p" es el otro factor recurrente que siempre aparecerá...A estos añadimos los factores triviales: ab y a+b,...
Teniendo en cuenta todo esto, hacemos la siguiente suposición: \( a=e^i^\theta \); \( b=e^-^i^\theta \) y reconstruimos toda la fórmula en términos del coseno, para obtener la siguiente fórmula:
\( R_p(z) = \displaystyle\frac{2^p(cos\theta)^p-2cos(p\theta)}{2cos\theta}*\sqrt[ ]{z^p^-^3} \)
La relación entre z y el argumento está dada por:
\( \theta=\displaystyle\frac{1}{2}Arccos(\displaystyle\frac{1-z}{2z}) \)
Hecho esto, puedes seleccionar valores enteros convenientes para "z" y reemplazando en la fórmula, obtendrás valores enteros para \( R_p(z) \)
Y como era de suponer esto será congruente con cero, módulo p. A esta congruencia he llamado "otro pequeño teorema de fermat en forma trigonométrica",
Lo interesante de esto es que el "argumento" es una función periodica y por tanto su cálculo para valores grandes de "p" se puede reducir al mínimo...
Si luego, realizamos el siguiente cambio de variable: \( x=z^2(z+1) \), obtendrás unos polinomios con coeficientes naturales de la forma:
\( P(p,x)=\displaystyle\frac{R_p(z)}{p}=a_0x^m+a_1x^m^-^1+...+a_m_-_1x+a_n \)
Estos polinomios tienen propiedades insospechadas...Una de mis hipótesis es que tomando ciertos valores enteros de "x" , la fórmula arriba dada podría servir como un buen "testeador de la primalidad de p"; sin embargo, también podría estar equivocado...
...Los primeros polinomios de este tipo son:
\( P(3,x)=1 \)
\( P(5,x)=1 \)
\( P(7,x)=1 \)
\( P(11,x)=x+1 \)
\( P(13,x)=2x+1 \)
\( P(17,x)=x^2+5x+1 \)
\( P(19,x)=3x^2+7x+1 \)
...Observarás que todos estos polinomios son
P(p,0)=1,
\( P'(p,0)<P'(p+1,0) \),
\( P''(p,0)<P''(p+1,0) \),
\( P'''(p,0)<P'''(p+1,0), etc \), (las comillas denotan derivadas respecto de x)
....Más adelante anotaré (en este mismo mensaje) la ecuación diferencial asociada a estos polinomios,
