[EnRlquE]

tengo esta pregunta  , espero que me ayuden:

Dado un número irracional \( \alpha \), demostrar que para todo número natural \( n \) existen enteros \( n_{1} \) y \( n_{2} \) tales que

\( \displaystyle 0<n_{1}+n_{2}\alpha<\frac{1}{n} \)

Gracias a todo aquel que me ayude.

[Luis Fuentes]

Hola

 Este problema es un "clásico". Se trata de probar que dado un irracional I, podemos escoger enteros a,b tales que a+bI es tan pequeño como queramos.

 Creo que en lo que llevo interviniendo en el foro es la tercera vez que se pregunta una variante de este problema. Pero sólo he logrado encontrar una de ellas. Así que te remito a ella:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=4831.0

 Si utilizas las ideas que aparecen por allí, sale. En caso de duda pregunta.

Saludos.

[EnRlquE]

Hola el_manco, entiendo un poco, pero cuando me plantearon la pregunta el examen era de análisis real I y aún no podiamos utilizar grupos, no se si me pudieras dar otra idea con algo un poco más básico.....

[Luis Fuentes]

Hola

 Uno considera los puntos

\(  a_n=n\alpha-[n\alpha] \)

 donde \(  [ x ]  \) es la parte entera de x. Te da un sucesión de puntos distintos contenida en (0,1) y a su vez en [0,1]. Aquí se utiliza que \( \alpha \) es irracional para ver que los puntos son distintos.

 Todas sucesión contenida en un compacto tiene una subsucesión convergente y por tanto de Cauchy. Eso quiere decir que puedes encontrar dos puntos tan próximo como quieras. La diferencia entre ambos te da el número:

\(  n_1+n_2\alpha \)

 tan pequeño como quieras.

Saludos.

[EnRlquE]

Muchas gracias por la ayuda el_manco quedó clarísimo!!