Hola
Si no me equivoco (por favor alguien revise), considera
\( f\colon(0,1]\to\Bbb{R}\mid f(x)=\dfrac1x \) no (Riemann) integrable en \( [0,1] \) y \( g\colon(0,1]\to\Bbb{R}\mid g(x)=\ln(x) \).
Se verifica que \( g'(x)=f(x) \).
La función \( g \) no es derivable en un intervalo cerrado, como se exige.
Considera \( g:[0, 1]\longrightarrow \mathbb R \) dada por
\( g(x)=\cases{x^2\mbox{sen}\,(1/x^2)&si $x\neq 0$,\cr 0&si $x=0$.} \)
Comprueba que \( g \) es derivable en \( [0,1] \), pero que \( f=g' \) no está acotada en \( [0, 1] \), por lo que no es integrable Riemann en \( 0,1[ \).
También hay ejemplos de funciones \( f \) acotadas en estas condiciones, pero son un poco más complicados:
https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra's_function
