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Mensajes - Luis Fuentes

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1
Probabilidad / Re: Distribucion exponencial
« en: Ayer a las 10:58 pm »
Hola

Hola chicos como les va?? Queria pedirles ayuda con este ejercicio !! porque no se me ocurre como hacerlo

El periodo de vida en años de una estufa de cierta marca tiene una distribución exponencial con un promedio
de falla de 6 años.

¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que deberá tener la estufa si se desea que el 20 % de las estufas fallen
antes de que expire su garantía? Graficar la situación.

Si \( T \) es la variable exponencial de parámetro \( \lambda=1/6 \) tienes que hallar \( t_0 \) para que:

\( P(T<t_0)=0.2 \)

¿Puedes terminar?.

Saludos.

2
Hola

\( P(\color{blue}h\color{black}) \): \( a_{\color{red}h}\leq \color{\red} h \) para todo \( h\leq n \). ¿estaría ccorrecto así también?

Es:

 \( P(\color{blue}n\color{black}) \): \( a_{\color{red}h}\leq \color{\red} h \) para todo \( h\leq n \). ¿estaría ccorrecto así también?

Citar
y el paso inductivo lo plantee: \( P(h+1): a_{\color{red}h+1}\leq{h+1} \) sabiendo que \( h\leq{k} \) y \( k\leq{n} \)

Y siguiendo tu linea, y esperando no "torcerla" como se que \( k\leq{n} \)

  Ahí te estás liando.

 Lo que tienes que hacer es probar \( P(n+1) \) suponiendo que \( P(n) \) es cierta.

 Veo que tienes cierta manía de usar la \( h \) para el paso inductivo. No sé porqué; aunque el nombre de las variables es lo de menos, mientras no usemos el mismo nombre para variables distintas y eso nos confunda.

Citar
Pero:

\( a_{n+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+a_k}{n+k+1}}\leq 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+k}{n+k+1}}\leq \ldots \)

Termina...


\( a_{h+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^h{\displaystyle\frac{h+a_k}{h+k+1}}\leq 1+\displaystyle\sum_{k=1}^h{\displaystyle\frac{h+k}{h+k+1}}\leq 1+\color{red}\displaystyle\sum_{k=1}^{h+1}{\displaystyle\frac{(h+1)+k}{(h+1)+k+1}}\color{black} \)

 Creo que hay algo que te está confundiendo. Lo que he marcado en rojo no viene a cuento.

 En tu primer mensaje tenías un error que denota una confusión. Escribiste:

\( a_{h+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{\color{red}h+1\color{black}}{\displaystyle\frac{(h+1)+a_k}{(h+1)+k+1}} \)

 Pero eso NO es la definición recursiva de \( a_{h+1} \) que te dan. Simplemente continuando con lo que escribí:

\( a_{n+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+a_k}{n+k+1}}\leq 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+k}{n+k+1}}\leq 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n1=1+n \)

 ¡Y ya está!. Hemos usado que:

\( a_k\leq k \) por hipótesis inductiva \( P(n) \)

y

\( \displaystyle\frac{n+k}{n+k+1}<1 \) por que \( n+k<n+k+1 \).

Saludos.

3
De oposición y olimpíadas / Re: Teoría de números
« en: Ayer a las 10:14 pm »
Hola

Disculpad mi torpeza. Pero no entiendo esta afirmación: "Entonces N es múltiplo de 9 porque 1332 lo es".

¿Por qué se escoge 9? 1332 también es múltiple de 3, 4, 12, hasta de 81.

Mil millones de gracias por vuestra aclaración.

Por que interesa usar la conocida y cómoda condición de divisibilidad por \( 9 \): un número es divisible por \( 9 \) si y sólo si la suma de sus cifras es múltiplo de \( 9 \).

Eso permite afirmar que:

\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=9t \)

y tener unos pocos casos para esas posibles sumas.

Saludos.

4
Hola

Como los conjuntos de la forma \[ (-\infty,a) \] con \[ a \in \Bbb R \] generan la sigma-álgebra de Borel, basta con ver que \[ f_\epsilon^{-1}((-\infty,a)) \] es de Borel para cada \[ a \in \Bbb R \]. Pero tenemos que \[ f_\epsilon^{-1}((-\infty,a)) = \{ x \in \Bbb R \mid f_\epsilon(x)<a\} = \{ x \in \Bbb R \mid \inf\{f(y): y \in (x-\epsilon, x+\epsilon)\}<a\} = \{x \in \Bbb R \mid \exists z \in (x-\epsilon,x+\epsilon)\, f(z)<a\} \]. Afirmo que este conjunto es abierto. En efecto, si \[ x \in f_\epsilon^{-1}((-\infty,a))  \], tenemos que existe \[ z \in (x-\epsilon, x+\epsilon) \] con \[ f(z)<a \]. Pero al ser el intervalo \[ (x-\epsilon,x+\epsilon) \] abierto, existe un entorno abierto \[ U \] de \[ x \] tal que para todo \[ y \in U \] tenemos que \[ z \in (y-\epsilon, y+\epsilon) \], luego \[ U \subseteq f_\epsilon^{-1}((-\infty,a)) \] y por tanto este último conjunto es abierto y en particular de Borel, como queríamos.

Gracias. Me estaba complicando la vida. En la parte que he marcado en rojo lo veo más claro si especifico el abierto \( U \). Basta tomar \( U=(x-r,x+r) \), con \( r=\epsilon-d(x,z) \). En ese caso, si \( y\in U \):

\( d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)\leq r+d(x,y)\leq \epsilon \)

Saludos.


5
Hola

Creo que lo entendí todo, así que ya con esas 2 "propiedades" o proposiciones se demuestra directo.
Lo que no termino de sacar es la demostración de la 1era proposición pero porque todavía no vimos espacios vectoriales ni bases etc. (Aunque si lo veremos próximamente, cuando ese sea el caso volveré y lo intentare entender de nuevo).

¿Pero qué parte es la que no entiendes? Prácticamente dodo puede escribirse de manera autocontenida, sin demasiados conocimientos previos. Si te refieres a esto:

\(  \vec{AX}=b\vec{AB}+c\vec{AC}=b'\vec{AB}+c'\vec{AC} \)

 Dado que \( \{\vec{AB},\vec{AC}\} \) son base por la unicidad de las coordenadas de un vector respecto de una base \( b=b' \), \( c=c' \), \( a=1-b-c=1-b'-c'=a' \).[/spoiler]

Simplemente si:

\( b\vec{AB}+c\vec{AC}=b'\vec{AB}+c'\vec{AC} \)

entonces:

\( (b-b')\vec AB=(c'-c)\vec AC \) (*)

Pero dado que los puntos \( A,B,C \) NO son colineales, los vectores \( \vec AB \) y \( \vec AC \) no son paralelos ni nulos, por tanto la única posibilidad en (*) es que \( b-b'=c-c'=0 \).

Saludos.

6
Hola

Hola AMIGOS! espero esten muy bien todos. Necesito de su guía por favor con el siguiente ejercicio. estoy un poco perdida..

Probar por induccion que \( a_n\leq{n} \) para todo \( n \in{\mathbb{N}} \), siendo la sucesión \( a_1=1 \) y \( a_{n+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+a_k}{n+k+1}} \)

Tomo \( P(n): a_n\leq{n} \)

Veamos si \( P(1) \) es verdadero, es decir si \( a_1\leq{1} \) lo cual se verifica pues \( 1\leq{1} \)

Debo probar que \( P(h)\Longrightarrow{P(h+1)} \) es verdadero

Hipotesis inductiva \( P(h): a_h\leq{h} \)

Tesis inductiva debo probar que \( P(h+1) \) es verdadera, es decir, \( a_{h+1}\leq{h+1} \)

Demostración

Por definición de la sucesión dada \( a_{h+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{h+1}{\displaystyle\frac{(h+1)+a_k}{(h+1)+k+1}}=1+\left[\displaystyle\sum_{k=1}^{h}{\displaystyle\frac{(h+1)+a_k}{(h+1)+k+1}}+\displaystyle\frac{(h+1)+a_{k+1}}{(h+1)+(h+1)+1)} \right] \)

Suponiendo que lo planteado esté correcto , no encuentro como hallar la hipótesis inductiva  :banghead: :banghead:

Para probar el caso \( n+1 \) utiliza la veracidad de todos los anteriores. Es lo que suele conocerse como inducción completa o fuerte. Técnicamente es la inducción "normal" modificando sutilmente la forma de escribir la proposición inductiva.

Toma \( P(n) \): \( a_k\leq k \) para todo \( k\leq n \).

Entonces para el paso inductivo tienes que probar que \( a_{n+1}\leq n+1 \) sabiendo que \( a_k\leq k \) para todo \( k\leq n \).

Pero:

\( a_{n+1}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+a_k}{n+k+1}}\leq 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{n+k}{n+k+1}}\leq \ldots \)

Termina...

Saludos.

7
Hola

 Para la última parte del problema antes de manipular centro de masas alguno tienes que tener claro un criterio para decidir cuando un punto está dentro de un triángulo de vértices \( A,B,C \), siendo \( A,B,C \) tres puntos no colineales.

 1) Todo punto \( X \) del plano \( ABC \) se escribe de manera única como:

 \( X=aA+bB+cC \) con \( a+b+c=1 \)

Spoiler
En efecto dado que las ecuaciones paramétricas, del plano \( ABC \) son \( X=A+u\vec{AB}+v\vec{AC} \) se tiene que:

\(  X=(1-u-v)A+uB+vC \)

 de manera que tomando \( a=1-u-v \), \( b=u \), \( c=v \) se tienen los coeficientes en las condiciones indicadas.

 En cuanto a la unicidad si:

\(  X=(1-b-c)A+bB+cC=(1-b'-c')A+b'B+c'C \)

 se tiene que:

\(  \vec{AX}=b\vec{AB}+c\vec{AC}=b'\vec{AB}+c'\vec{AC} \)

 Dado que \( \{\vec{AB},\vec{AC}\} \) son base por la unicidad de las coordenadas de un vector respecto de una base \( b=b' \), \( c=c' \), \( a=1-b-c=1-b'-c'=a' \).
[cerrar]

 2) Un punto  \( P=aA+bB+cC \) con \( a+b+c=1 \) está dentro del triangulo \( A,B,C \) si y sólo si \( a,b,c\geq 0 \).

Spoiler
Primero notamos lo siguiente. Que un punto \( P \) esté dentro de un triángulo equivale a que esté en el mismo semiplano que cada vértice \( A \) respecto a la división del plano que hace la recta que contiene al lado opuesto.

 Es decir \( A \) y \( P \) deben de estar en el mismo semiplano que define la recta \( BC \). \( B \) y \( P \) deben de estar en el mismo semiplano que define la recta \( AC \). \( C \) y \( P \) deben de estar en el mismo semiplano que define la recta \( AB \).

 Ahora todo punto interior del segmento \( AP \) puede escribirse de la forma \( (1-t)A+tP \) con \( t\in (0,1) \). Que \( A \) y \( P \) estén en el mismo semiplano que define la recta \( BC \), significa que el segmento \( AP \) no puede cortar a la recta \( BC \). Pero calculemos tal intersección:

\( (1-t)A+tP=sB+(1-s)C \)
\( (1-t)A+taA+tbB+tcC=sB+(1-s)C \)

\( A(1-t+ta)+B(tb-s)+C(tc-1+s)=0 \)
\( A(1-tb-tc)+B(tb-s)+C(tc-1+s)=0 \)
\( A(1-tb-tc-s+s)+B(tb-s)+C(tc-1+s)=0 \)
\( (tb-s)(B-A)+(tc-1+s)(C-A)=0 \)
\( (tb-s)\vec{AB}+(tc-1+s)\vec{AC}=0 \)

Como \( \vec AB \) y \( \vec AC \) son independientes:

\( tb-s=0 \)
\( tc-1+s=0 \)

Sumando:

\( t(b+c)=1 \)

\( t=\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{1-a} \) (*)

Ahora para que el punto de corte esté en \( AP \), \( t\in (0,1) \) y en (*) eso equivale a que \( a<0 \).

En otras palabras \( A,P \) están al mismo lado del semiplano delimitado por la recta \( BC \) si y sólo si \( a\geq 0 \).

Haciendo lo análogo con los otros vértices y lados concluimos que:

Un punto  \( P=aA+bB+cC \) con \( a+b+c=1 \) está dentro del triangulo \( A,B,C \) si y sólo si \( a,b,c\geq 0 \).
[cerrar]

 Ahora la cuestión del centro de masa es inmediata.

Saludos.

8
Hola

Creo haberlo entendido con lo que dice Luis, ¿pero de donde sale exactamente esa manera de definir semiespacios? Porque en internet no encontré información muy relevante y en la bibliografía recomendada por el curso no figura la palabra "semiespacios".

https://en.wikipedia.org/wiki/Half-space_(geometry)

Saludos.

9
Cálculo de Varias Variables / Re: Integral en una región
« en: 14 Mayo, 2021, 10:41 pm »
Hola

Es cierto. A ver que tal. Pasando a trabajar en coordenadas cilíndricas tenemos que el conjunto es \( E=\left\{{(\rho,\phi,z)/2\color{red}\rho\color{black}\leq{}z^2\leq{}\color{red}\rho\color{black}+1,z\geq{}0}\right\} \), de aquí podemos deducir que \( 0\leq{}\rho\leq{}\displaystyle\frac{z^2}{2} \), si \( 0\leq{}z\leq{}1 \).

Donde pones \( \rho \) es \( \rho^2 \). Ese error lo arrastras a lo largo del desarrollo.

Saludos.

10
Hola

Siguiendo las sugerencias, sean \( u,v\in Dom(f) \) con \( u\not=v \) y supongamos por reducción al absurdo que \( f(u)=f(v) \). Como \( Dom(f) = (0,+\infty) \), \( f \) es continua y derivable, entonces por el Teorema de Rolle, existe \( t\in(u,v) \) tal que \( f'(t) = 0 \), pero \( f'(x) = 2 + \frac{1}{x} = 0 \) implica que \( x = -\frac{1}{2} \) y \( x = -\frac{1}{2}\not\in(u,v) \) ya que \( Dom(f) = (0,+\infty) \), luego no existe \( t\in(u,v) \) tal que \( f'(t) = 0 \) y en consecuencia \( f(u)\not=f(v) \). Por lo tanto, \( f(x) = 2x + Ln(x) \) es inyectiva.

Es correcto.

Saludos.

11
Cálculo de Varias Variables / Re: Integral en una región
« en: 14 Mayo, 2021, 08:05 pm »
Hola

Debo hallar la integral de una función en la región \( E=\left\{{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/2(x^2+y^2)\leq{}z^2\leq{}x^2+y^2+1,z\geq{}0}\right\} \). Estoy tratando de hallar los limites de la integral de cada variable. Al dibujar la región queda claro que debe ser \( z\geq{}1 \), pero luego no consigo despejar x,y de forma que luego pueda operar la integral. Me quedo en que \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2y^2-z^2}{2}}\leq{}x\leq{}\sqrt[ ]{y^2+1-z^2} \) y que \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2x^2-z^2}{2}}\leq{}y\leq{}\sqrt[ ]{x^2+1-z^2} \).

No es cierto que \( z\geq 1 \). Por ejemplo el punto \( (0,0,1/2) \) está en la región.

Es un trozo de cono tapado por un hiperboloide de una hoja.

Mi consejo es que trabajes en cilíndricas.


Saludos.

12
Hola

Luis ¿porqué sólo analizo \( r_8(a)=3,5,7 \) y no para los otros números?

Por que como tu misma has razonado de las hipótesis se deduce que \( a \) es impar. Entonces el resto de dividir por \( 8 \) no puede ser par.

Saludos.

13
Hola

Deseo probar que la función definida por \( f(x) = 2x + Ln(x)  \) es una función inyectiva. Mi enfoque es el usual: sean \( u,v\in Dom(f) \) y supongamos que \( f(u) = f(v) \), entonces \( 2u+Ln(u)=2v+Ln(v) \), de donde, \( ue^{2u}=ve^{2v} \) (aplicando \( exp(x) \) a ambos miembros). De acá, no logro ver como seguir con la demostración...

Tu función está definida en \( (0,+\infty) \), donde es continua y derivable. Por el Teorema de Rolle si hubiese dos puntos distintos donde toma el mismo valor, su derivada debería de anularse en algún punto. ¿Puede ocurrir?.

Saludos.

14
Hola

Esto no lo tenía, me viene de 10!!! sólo me valí de una proposición que nos habían dado en la cual si \( a|n  \wedge  b|n \wedge (a,b)=1\Longrightarrow{a\cdot b|n} \) y no había aclaracion acerca de \( n \).

¡Es qué es esa la proposición que aplico!. \( n \) es cualquier número. En tu caso \( n=a(a-1)(a^2+1). \)

Saludos.

15
Hola

De acuerdo a Wikipedia, si dibujas un plano en el espacio, éste divide al espacio en dos conjuntos llamados semiespacios.

Para la cara inferior,

    \( \{(x,y,0):x\geq 0\}\cap \{(x,y,0):y\geq 0\}\cap \{(x,y,0):x\leq 1\}\cap \{(x,y,0):y\leq 1\} \).

Nota que cada uno de estos conjuntos son semiespacios,

Supongo que hay una errata. Eso son semiplanos.

En general un semiespacio viene dado por:

\( \{(x,y,z)\in \Bbb R^3|ax+by+cz+d\geq 0\} \)

donde \( ax+by+cz+d=0  \)es la ecuación del plano que lo delimita. Entonces para escribir un poliedro como intersección de semiespacios sólo hay que hallar las ecuaciones de los planos que forman sus caras y ver si la desigualdad tiene que ir en uno u otro sentido para quedarnos "dentro" del poliedro.

En el caso del los seis semiespacios serían:

\( \{(x,y,z)\in \Bbb R^3|x\geq 0\} \)
\( \{(x,y,z)\in \Bbb R^3|x\leq 1\} \)
\( \{(x,y,z)\in \Bbb R^3|x\geq 0\} \)
\( \{(x,y,z)\in \Bbb R^3|y\leq 1\} \)
\( \{(x,y,z)\in \Bbb R^3|z\geq 0\} \)
\( \{(x,y,z)\in \Bbb R^3|z\leq 1\} \)

o de manera resumida lo relevante es indicar las seis desigualdades que los definen:

\( x\geq 0,\quad x\leq 1,\quad y\geq 0,\quad y\leq 1,\quad z\geq 0,\quad z\leq 1 \)

Para la pirámide las cinco caras que la delimitan corresponden a los planos:

\( z=0 \)
\( x+z-1=0 \)
\( x-z+1=0 \)
\( y+z-1=0 \)
\( y-z+1=0 \)

y las desigualdades serían (para saber el sentido nota que el punto \( (0,0,1/2) \) está en la pirámide):

\( z\geq 0 \)
\( x+z-1\leq 0 \)
\( x-z+1\geq 0 \)
\( y+z-1\leq 0 \)
\( y-z+1\geq 0 \)

Saludos.

16
Hola

Hola AMIGOS!  ;) :)  espero se encuentren todos muy bien, necesito por favor de su valioso tiempo, en el siguiente ejercicio.
No he usado antes el tema de tabla de restos, y si bien me ha costado bastante, "encaré" esta demostración usando este tema, y me gustaría saber si lo hecho es correcto, dejaré todo en detalle, para que sea expeditivo de analizar.

Sea \( a\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( (a^3+21:20)=2 \) probar que \( 40|a(a-1)(a^2+1) \)

Idea:

Como \( 40=2^3\cdot 5 \) si puedo probar que
                         \( 2^3|a \wedge 5|a  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a} \) (1)
o bien probar que
                         \( 2^3|a-1 \wedge 5|a-1  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a-1} \) (2)
o bien probar que
                         \( 2^3|a^2+1 \wedge 5|a^2+1  \) como \( (2^3:5)=1\Longrightarrow{2^3\cdot 5|a^2+1} \) (3)

Si puedes probar eso, efectivamente tienes el resultado. Pero no necesitas tanto.

Por ejemplo valdría que \( 2^3|a \) y \( 5|a-1 \).

Es decir en realidad lo que tienes que probar es que \( 2^3|a(a-1)(a^2+1) \) (a cualquiera de los tres factores) y \( 5|a(a-1)(a^2+1) \)  (a cualquiera de los tres factores y no necesariamente el mismo de antes).


Citar
DEMOSTRACIÓN

Por hipótesis \( (a^3+21:20)=2\Longrightarrow{2|a^3+21} \wedge 2|20 \). Si \( 2|a^3+ 21\Longleftrightarrow{r_2(a^3+21)=0} \)

Con este dato de hipótesis analizo los posibles restos \( r_2(a) \)

\( \begin{matrix}{r_2(a)}&{0}&{1}\\{r_2(a^2)}&{0}&{1}\\{r_2(a^3)}&{0}&{1}\end{matrix} \)

\( r_2(a^3+21)=r_2[r_2(a^3)+r_2(21)]=r_2(1+1)=0\Longrightarrow{r_2(a)=1} \) por lo que este dato me dice que \( a \) es un número impar.

Si consideraba o suponía que \( r_2(a)=0 \) entonces llego a un absurdo pues contradigo la hipótesis.

Con este procedimiento ya se que \( a \) es un número impar y por lo tanto \( a-1 \) es un número par

Veamos si \( 2^3|a-1 \) y \( 5|a-1 \)

\( \begin{matrix}{r_8(a)}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}&{6}&{7}\\{r_8(a-1)}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}&{6}\end{matrix} \) Como \( a \) es impar \( 8\not | a \) pues todo multiplo de \( 8 \) es un número par, luego no considero el caso que \( r_8(a)=0 \)

Vemos que \( 2^3|(a-1) \) si \( r_8(a)=1 \)


\( \begin{matrix}{r_5(a)}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}\\{r_5(a-1)}&{4}&{0}&{1}&{2}&{3}\end{matrix} \) Vemos que \( 5|(a-1) \) si \( r_5(a)=1 \)

Por lo tanto podemos  concluir que \( 2^3|a-1 \) y \( 5|a-1 \) y \( (8:5)=1\Longrightarrow{2^3 \cdot 5|a-1}\Leftrightarrow{40|a-1} \)

Por la Propiedad: Siendo \( a,b \in{\mathbb{Z}} \) \( a|b\Longrightarrow{a|b\cdot c} \forall{c}\in{\mathbb{Z}} \)

Si \( 40|a-1\Longrightarrow{40|a(a-1)(a^2+1)} \) cqd

Pero ahí sólo estás probando el resultado cuando \( r_8(a)=1 \). ¿Qué pasa por ejemplo cuando \( r_8(a)=3,5,7 \). ¡Tienes que analizarlo!.

Para \( r_8(a)=1 \) efectivamente \( r_8(a-1)=0 \). Lo tenemos.
Si \( r_8(a)=3 \) entonces \( r_8(a^3+21)=r_8(48)=0 \), es decir,  \( a^3+21 \) es múltiplo de \( 8 \) y por tanto \( (a^3+21:20)\geq 4 \). Luego este caso no se da.
Si \( r_8(a)=5 \) entonces \( r_8((a-1)(a^2+1))=r_8(4\cdot 26)=0 \). Lo tenemos.
Si \( r_8(a)=7=-1 \) entonces \( r_8(a^3+21)=r_8(20)=4 \),  es decir,  \( a^3+21 \) es múltiplo de \( 8 \) y por tanto \( (a^3+21:20)\geq 4 \). Luego este caso no se da.

Ahora los restos módulo \( 5 \).

Si \( r_5(a)=0,1,2,3 \) entonces \( r_5(a(a-1)(a^2+1))=0 \). Lo tenemos:

Si \( r_5(a)=4=-1 \) entonces \( r_5(a^3+21)=r_5(20) \). Entonces \( a^3+21 \) es múltiplo de \( 5 \) y es falso que \( (a^3+21:20)=2 \). Esto no puede darse.

Saludos.

P.D.
Una pregunta sólo por enterarme yo: esto, \( (a^3+21:20)=2 \), ¿quiere decir que el mcd es 2?

Si.

17
Hola

Primero de todo muchas gracias por responder. Luego;

Hemos llegado a que tenemos una sucesion que es \( \left\{{ax_n+by_n}\right\}\subset{M} \) y que converge a \( ax+by \) por propiedades de limites de suceciones.

¿Que la sucesion este en \( M \) implica que su limite está en la clausura de \( M \) y por tanto ya se tiene por caracterización de subespacio vectorial que la clausura de \( M \) es un subespacio vectorial de \( H \)?

Si; pero debes de especificar.

1) Porqué la sucesión tiene límite.
2) Cuál es ese límite.
3) Luego razonas que ese límite está en \( \bar M \), por ser límite de una sucesión de \( M \) y habrás probado lo que querías.

Es todo muy fácil; pero debes de indicarlo.

Saludos.

18
Hola

Si \( H \) es un espacio prehilbertiano (entiendo pues que dotado de producto escalar) me piden demostar que si tengo \( M \) es un subespacio vectorial de \( H \), entonces \( \bar{M} \) (clausura del conjunto M) es tambien un subespacio vectorial de \( H \).
La verdad es que no se me ocurre ninguna propiedad que haya dado para caracterizar la clausura de un conjunto como subespacio vectorial

Si tienen alguna idea se lo agradeceria

Tienes que probar que dados \( x,y\in \bar M \) y \( a,b\in \Bbb K \) entonces \( ax+yb\in \bar M \).

Como \( x,y\in \bar M \) existen sucesiones \( \{x_n\},\{y_n\}\subset M \) tales que \( x_n\to x,y_n\to y \).

Considera la sucesión \( \{ax_n+by_n\} \). Por ser \( M \) subespacio está contenida en M. Continúa...

Saludos.

19
Hola

Así, si la coordenada “x” del vector normal a los dos planos es -6, la primera ecuación es simplemente

\( x_{1}-x_{2}=-6
  \)

\( (4-4\lambda)-(2-2\beta)=-6
  \)

\( -4\lambda+2+2\beta=-6
  \)

\( \beta=-4+2\lambda
  \)

Y de este modo, con las ecuaciones para las otras coordenadas y,z pues ya está; te sale un sistema muy sencillito y simplemente poniendo beta en función de lambda se resuelve en un momento.

Esto está mal. El vector normal no es único; lo que es única es la dirección normal (perpendicular) a ambos vectores. Entonces lo que tiene que cumplirse es que el vector que une dos puntos genéricos de la recta sea paralelo, proporcional (y no necesariamente igual) al vector normal calculado previamente:

\( \dfrac{x_1-x_2}{-6}=\dfrac{y_1-y_2}{-2}=\dfrac{z_1-z_2}{-16} \)

Saludos.

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- Otros - / Re: Problema sobre pago a plazos
« en: 14 Mayo, 2021, 08:30 am »
Hola

María compró una casa por $5000 de cuota inicial, comprometiéndose a pagar $200 cada 3 meses durante los próximos 10 años. Se pactó un interés de 6% anual convertible semestralmente.
1. ¿Cuál era el valor de contado de la casa?

Mi problema con este tipo de problemas es que desconozco por completo los convenios en matemática financiera.

Si se entiende que paga una cantidad semestral (porque los intereses se aplican semestralmente) de amortización de \( 400 \) durante 10 años, el capital \( c \) prestado sería:

\( 400=\dfrac{c\cdot 0.03\cdot 1.03^{20}}{1.03^{20}-1} \)

de donde a mi me sale \( c=5950.98 \). Si añadimos el pago inicial:

\( 5000+5950.98=10950.98 \)

que tampoco es exactamente el resultado que indicas; no sé si es por errores de redondeo o por otro motivo.

Saludos.

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