[bacteria]

Hola a todos:

Quisiera saber si es correcto lo siguiente:

Se me pide calcular la inversa de la matriz A diagonalizando

\( A = \left[{\begin{matrix}{0}&{0}&{-2}\\{1}&{2}&{1}\\{1}&{0}&{3}\end{matrix}\right] \)

primero obtengo los eigenvectores correspondientes que son:

\( V_1 = \left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{0}\\{1}\end{array}\right] \) \( V_2= \left[{\begin{array}{ccc}{0}\\{1}\\{0}\end{array}\right] \)  \( V_3 = \left[{\begin{array}{ccc}{-2}\\{1}\\{1}\end{array}\right] \)

Con base en esto obtengo la matriz \( P = \left[{\begin{matrix}{-1}&{0}&{-2}\\{0}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\end{matrix}\right] \) que diagonaliza a la matriz A, entonces obtengo la diagonal

\( D = P^{-1}A P = \left[{\begin{matrix}{2}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{matrix}\right] \)

Usando la regla para el cáluclo de potencias de una matriz obtengo que

\( A^{-1}= P D^{-1} P^{-1} \) , entonces

\( A^{-1} = \left[{\begin{matrix}{1.5}&{0}&{1}\\{-0.5}&{0.5}&{-0.5}\\{-0.5}&{0}&{0}\end{matrix}\right] \)

Comprobando obtengo que :

\( A A^{-1} =  \left[{\begin{matrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{matrix}\right] \)


¿Es correcto o es otro el camino?......

Saludos

Bacteria   

[Luis Fuentes]

Hola

 Tu camino es correcto.

 También se puede hacer, desde otro punto de vista, diagonalizando por equivalencia por filas en lugar de por semejanza.

 Dos matrices A y B son equivalentes por filas si existe una matriz inversible P tal que PA=B.

 El proceso es escribir la identidad al lado de A y hacer operaciones elementales fila para diagonalizar A hasta obtener la identidad:

 (A|Id) --> operaciones elementales fila --> (Id|P)

 De manera que PA=Id y por tanto \( P=A^{-1} \).

Saludos.



 

[sebasuy]

Déjeseme decir, ¿sí? Hacerlo así es como ir a Bs. As. pasando por Siberia. ¿Tendrá alguna ventaja pasar antes por la dioganilización? Todo pinta que lo mejor es seguir con las operaciones elementales.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 En realidad sebasuy tiene mucha razón. Por que si uno trata de calcular la inversa utilizando la diagonalización por semejanza, se encuentra con que tiene que calcular la inversa de P. Con lo cual es ir de Montevideo a Buenos Aires pasando por Siberia ... y volviendo a Montevideo antes de llegar a Buenos Aires.

Saludos.

[bacteria]

Muchas gracias por sus respuestas las tomare muy en cuenta

Saludos

Bacteria

[número áureo]

Hola,

Al igual que alguno de vosotros, no veo el sentido de diagonalizar para obtener la matriz inversa, pero claro, cuando se lo piden por algo será. ¿No creéis?¿Tendrá algún sentido?