[lfqm]

Que tal, me gustaría me ayudaran a resolver este problema, por mas que lo pienso no veo hacia donde dirigir la demostracion. El problema dice:

Supongamos que \( G \) es un grupo finito tal que \( \left |{G}\right |=pm \) donde \( p \) no divide a \( m \) y \( p \) es primo. Si \( H \) es un subgrupo normal en \( G \) tal que \( \left |{H}\right |=p \), entonces \( H \) es un subgrupo característico.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si no fuese característico existe un automorfismo de \( G \) que lleva \( H \) en otro subgrupo normal \( H' \) distinto de \( H \).

 Comprueba que \( H\times H'  \) es un subgrupo de \( G \) de orden \( p^2 \) y por tanto \( p^2 \) debiera de dividir a \( p\cdot m \): contradicción.

Saludos.

[lfqm]

Oye amigo, disculpa mi ignorancia, la verdad ando algo mal en este tema, pero no entiendo como es que se puede demostrar que \( H\times H' \) es subgrupo de \( G \)

Porque en principio no conocemos su estructura, entonces, para que \( H\times H' \) fuera subrupo de \( G \) los elementos de \( G \) tendrían que ser parejas ordenadas, pero si así fuera, \( H \) no sería subgrupo de \( G \)

Tampoco entiendo porque \( H\times H' \) sería de orden \( p^2 \), ¿como se sabe que \( H\cap{H'}=\left\{{e}\right\} \)?

[Luis Fuentes]

Hola

 1) \( H\cap H' \) es un subgrupo de \( H \) (y de \( H' \)). Por tanto como el orden de \( H \) es \( p \) primo o bien \( H\cap H'=H \) o bien \( H\cap H'=\{e\} \). Pero estamos suponiendo \( H\neq \H' \) luego necesariamente la intersección es el neutro.

 2) Quizá equivoqué la notación. Me refiero a probar que:

 \( K=\{xy|x\in H,y\in H'\} \) es un subgrupo de \( G \) de orden \( p^2 \).

 - Qué es subgrupo es fácil de ver utilizando la normalidad de \( H \) y \( H' \).

 - En particular todo elemento de \( K \) es de la forma:

 \( x^ny^m \) con \( 0\leq n<p, 0\leq m<p \).

 - Para ver que tiene orden \( p^2 \) basta ver que:

\(  x^ny^m=e\quad \Rightarrow{}\quad n=m=0 \)

 Comprúebalo.

Saludos.

[lfqm]

¡Claro!, como no lo vi, perdona mi ineptitud, muchas gracias amigo.