[Nicolas Bourbaki]

Hola a todos!

Necesito que me echen una mano con un problema de geometría diferencial. No sé por donde empezar con el problema y agradecería una idea de por donde van los tiros... este es el problema.

Demuestra que toda variedad diferencial de dimensión n admite un atlas \( \{(U_{\alpha},{\phi}_{\alpha})\} \) tal que \( {\phi}_{\alpha}(U_{\alpha})=\mathbb{R}^{n} \).

Muchas gracias por su ayuda!

[Luis Fuentes]

Hola

 Ideas:

 1) Prueba que toda bola abierta es difeomorfa a \( R^n \), es decir, puedes definir una difeomorfismo:

 \( B(x,r)\longrightarrow{ }R^n \)

 2) Prueba que siempre puedes econtrar un atlas con \( \phi_\alpha(U_\alpha)=B(x_\alpha,r_\alpha) \)

Saludos.

[Nicolas Bourbaki]

Hola!

Mmmm... no veo muy claro lo de las bolas. Yo había pensado usar los espacios tangentes... pero tampoco lo tengo muy claro. Sé que el espacio tangente a una variedad n-dimensional es isomorfo a \( \mathbb{R}^{n} \), pero no logro relacionar de un modo satisfactorio la variedad con el espacio tangente; necesito meditar un poco más.

Muchas gracias por todo!

[Luis Fuentes]

Hola

 Con "no veo claro lo de las bolas", no sé si te refieres a (1) o a (2).

 Sea como sea te dejo que lo pienses.

 La idea del tangente funciona bien en algunos casos (para Grupos de Lie, es decir, variedades diferenciables con estructura de grupo compatible), pero es mucho más complicado que el camino que apunto. Supone resolver una ecuación diferencial en una variedad.

Saludos.

[Nicolas Bourbaki]

Hola!

Tenías razón, como era de esperar . Hoy hemos resuelto la cuestión y, efectivamente, era mucho más clara y sencilla con bolas abiertas.

Muchas gracias por todo!