Saludos! Otro problema más, de Variedades diferenciables, que espero me ayuden a resolver.
Teniendo presente la definición que se dió en otro hilo:
Definicion: un sistema de referencia del fibrado vectorial \( (E,M\pi) \) es un conjunto de secciones \( \{s_1,...,s_n\} \) de este fibrado tal que para cualquier \( p\in M \), \( \{s_1(p),...,s_n(p)\} \) es una base para la fibra \( E_p \).
Todo fibrado admite sistemas de referencia locales, es decir, si \( (E,M,\pi) \) es un fibrado cualquiera, entonces para un punto \( p \in M \) existe una vecindad \( U \) tal que el fibrado restricción \( (E/U,U,\pi) \) tiene un sistema de referencia diferenciable. Asi podemos cubrir a \( M \) con una familia de abiertos \( \{U_\alpha\}_{\alpha \in A} \) tales que el fibrado \( E/U_\alpha \) tiene un sistema de referencias \( s^\alpha=\{s_1^\alpha,...,s_n^\alpha\}_{\alpha\inA} \). Si \( U_\alpha\cap{U_\beta}\neq{\emptyset} \), entonces sobre \( U_\alpha\cap{U_\beta} \) tenemos dos sistemas de referencia diferenciables \( s^\alpha \) y \( s^\beta \). Luego, si \( p\inU_\alpha\cap{U_beta} \), tenemos que \( s_i^\beta(p)=\displaystyle\sum_{i=1}{a_j^i(p)s_i^\alpha(p)} \), de este modo obtenemos las funciones \( a_j^i:U_\alpha\cap{U_\beta}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) que resultan diferenciables...
La matriz \( g_{\alpha\beta}(p)=(a_j^i(p)) \) es invertible y la función \( g_{\alpha\beta}:U_{\alpha}\cap{U_{\beta}}\rightarrow{GL(n,\mathbb{R})} \) dada por \( p\rightarrow{g_{\alpha\beta}(p)} \) es diferenciable.
A las funciones \( \left\{{g_{\alpha\beta}}\right\}_{\alpha\beta\in{A}} \) se les llama las funciones de transición del fibrado \( (E,M,\pi) \), respecto al cubrimiento \( \left\{{U}\right\}_{\alpha\in{A}} \).
Probar que estas funciones cumplen las siguientes propiedades:
a.-\( g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}^{-1} \)
b.-\( g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma} \) en \( U_{\alpha}\cap{U_{\beta}}\cap{U_{\gamma}} \).
