[super_eman]

Hola, tengo una función por parte que vale 2x cuando x es racional y 0 cuando x es irracional, en símbolos, \( f(x)=\begin{Bmatrix} 2x & \mbox{ si }& x \in{\mathbb{Q}}\\0 & \mbox{si}& x\in{\mathbb{I}}\end{matrix} \)
Estudiar la derivabilidad de la función.
Yo conteste (por intuición) que no es derivable por ser discontinua. Quiero saber si mi respuesta es acertada y de que manera puedo formalizarla. Muchas Gracias.

[nico]

Hola.

Te convendría estudiar las derivadas laterales y ver que justamente el limite de f ' en cero no existe.

Saludos..   

[EnRlquE]

Hola.

 Cierto, para concretar un poco, observa que \( f \) es discontinua (y por tanto no derivable) en casi todo \( \matrbb{R} \), pues el punto \( x=0 \) es el único donde \( f \) es continua, para mostrar que tampoco es derivable en \( x=0 \), puedes observar que el límite

\( \displaystyle\lim_{x \to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} \)

 No existe.

Spoiler

Para mostrarlo, te puede ayudar tomar una sucesion de puros racionales que tiendan a \( x=0 \) y luego tomar una sucesión de puros irracionales que tienda a cero.

[cerrar]

Saludos.

[super_eman]

Hola, no entendí mucho lo que esta en el spoiler, es decir, Cómo demuestro la no existencia de este límite. \( \displaystyle\lim_{x \to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}  \)
Gracias.

[EnRlquE]

Hola.

 Veamos, tenemos que mostrar que el límite

\( \displaystyle\lim_{x \to0}\dfrac{f(x)}{x} \)

 No existe, para esto bastará mostrar la existencia de dos sucesiones \( (a_{n}) \) y \( (b_{n}) \) tales que \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}b_{n}=0 \) y

\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{f(a_{n})}{a_{n}}\neq\lim_{n\to\infty}\dfrac{f(b_{n})}{b_{n}} \)          \( (\alpha) \)

 Entonces, aprovechando que el comportamiento de la función es particularmente distinto en los racionales y los irracionales, podemos considerar por ejemplo

\( a_{n}=\dfrac{1}{n} \)    y    \( b_{n}=\dfrac{\sqrt{2}}{n} \)

 Pues de este modo conseguimos que se verifique \( (\alpha) \), y esto muestra que el límite inicial no existe.

Saludos.

[super_eman]

Hola Braguildur, el ejercicio original decia: "Estudiar la derivabilidad de la función que está definida como : x al cuadrado para x racional y cero para x irracional."
Así era la consigna y yo respondí que no era derivable y la profesora me dijo que si era derivable en cero.
Orientenme Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si te refieres a esta función:

\( f(x)=\begin{Bmatrix} x^2 & \mbox{ si }& x\in Q\\0 & \mbox{si}& x\not\in Q\end{matrix} \)

Entonces si es cierto que es derivable en cero.

 De manera (muy) intuitiva (pero no formal) si nos acercamos por los racionales la derivada sería:

\( f'(x)=2x \)
 
 Si nos acercamos por los irracionales:

\(  f'(x)=0 \)

 En cero coinciden ambas, luego sospechamos que es derivable en ese punto.

 Formalmente prueba que:

\(  \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=0 \)

 (el formalismo lo puedes basar en la intuición).

Saludos.