[Gokiul]

Hola,
El problema reza como sigue:
Para un valor dado \( N \), consideremos la matriz \( A \) de dimensión \( N^2 \times N^2 \) con elementos todos nulos excepto \( a_{i,i}=4+h^2 \), \( a_{i,i+1} = a_{i,i−1} = a_{i,i+N} = a_{i,i−N} = −1 \) donde \( h = 1/(N + 1). \)
El sistema \( Au = b \) donde \( b_i = 4h^2 \) para cada i, ofrece una aproximación a la solución \( u(x, y) \) de la ecuación en derivadas parciales
\( \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-u=4 \), con \( u(x, y) = 0 \) en todos los lados de la región \( 0\leq x, y \leq 1. \)

1.Usa el método de Cholesky para hallar una aproximación a la solución para N = 3 y N = 5.
Esta parte ya la he hecho (he comprobado que la matriz es simétrica y definida positiva para que se puede aplicar Cholesky).

2. Haz una gráfica de la aproximación obtenida.
Aquí está la duda: ¿Qué estamos aproximando? Cada vez que aumentamos el valor de \(  N  \) el vector \(  u  \) se hace más grande. Entiendo que es la gráfica de la función \(  u(x,y)  \), pero no sé cómo estamos obteniendo los valores.

3. Aumenta lentamente el valor de N y dibuja las superficies obtenidas hasta que considere
que la aproximación es aceptable.
Aquí entiendo que será graficar \(  u  \) a medida que aumentamos el valor.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Si no me equivoco el el vector \( v \) solución del sistema propuesto se almacena en fila (una fila a continuación de otra) la matriz de valores de la solución aproximada \( u(x_i,x_j) \) donde \( x_i=\dfrac{i}{n+1} \).
 
 Es decir:

\(  u(x_i,x_j)=v((i-1)*n+j) \) para\(  i,j=1,2,\ldots,n \)

 He hecho los cálculos para\(  n=5,10,16 \) y me salen respectivamente los siguientes gráficos:

Para \( n=5 \):


Para \( n=10 \):


Para \( n=16 \):



Saludos.

P.D. Algo no me cuadra. Las soluciones no parecen acomodarse a las condiciones iniciales; además por la simetría de la ecuación parecería que deberían de ser simétricas intercambiando los papeles de \( x \) e \( y \).

Debo de estar haciendo algo mal.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ya veo el problema. La definición de la matriz que has escrito no es del todo correcta. Para que las condiciones de contorno sean efectivamente que \( u(x,y)=0 \) en los lados de todo el cuadrado, los coeficientes \( a_{i,i+1} \) y \( \color{red}a_{i+1,i}\color{black} \) tienen que ser cero cuando \( i \) es múltiplo de \( n \). Corresponden a los casos en los que \( x=1/(n+1) \) ó \( x=n/(n+1) \) y sus "vecinos" son alguno de los los lados del cuadrado.

 Con sea corrección obtengo los siguientes gráficos.

 Para \( n=5 \):



 Para \( n=10 \):



 para \( n=16 \):



Saludos.

CORREGIDO

[Gokiul]

Muchas gracias
Entiendo que con "en todos lados de la región" el autor se refiere entonces a sólo el borde y no a toda la región, pues ¿esto no podría ser?
Además, el cambio que dices hace que la matriz deje de ser simétrica, ¿no?
Por último, ¿cómo estás haciendo para graficar la función? Tenemos un número finito de puntos y tus gráficas parecen de funciones continuas.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias
Entiendo que con "en todos lados de la región" el autor se refiere entonces a sólo el borde y no a toda la región, pues ¿esto no podría ser?

No tendría sentido que fuese \( u(x,y)=0 \) en TODA la región; entonces no habría nada que calcular, sería la función constante nula y además no cumpliría la ecuación propuesta.

Centremos el problema. Buscamos una función \( u(x,y) \) definida en el cuadrado \( [0,1]\times [0,1] \) que cumpla la ecuación diferencial:

\( \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}-u=4 \)

Si sólo imponemos eso habría infinitas soluciones. Pero además buscamos la solución que sobre los bordes del cuadrado valga cero. Es decir aquella que cumpla:

\( u(x,0)=u(x,1)=u(0,y)=u(1,y)=0 \) para \( 0\leq x.y\leq 1 \)

Además, el cambio que dices hace que la matriz deje de ser simétrica, ¿no?

Es que tuve una errata. Es \( a_{i+1,i}=a_{i,i+1}=0 \) para \( i \) múltiplo de \( n \).

Por último, ¿cómo estás haciendo para graficar la función? Tenemos un número finito de puntos y tus gráficas parecen de funciones continuas.

Efectivamente son puntos:

\( P_{i,j}=(x_i,y_j,u(x_i,y_j)) \)

con \( x_i=i/(n+1), y_j=j/(n+1) \), \( i,j=0,1,2,\ldots,n+1 \).

Para que parezca una superficie se trazan cuadriláteros uniendo los puntos:

\( P_{i,j},P_{i+1,j},P_{i,j+1},P_{i+1,j+1} \)

Yo lo he implementado con Mathematica que dados los puntos dibuja automáticamente la superficie con el comando ListPlot3D.

Saludos.

[Gokiul]

De acuerdo, muchas gracias.
Saludos