Hola

 Tenemos la proyección natural:

\(  \pi:TM\longrightarrow{}M \)

 que cumple \( \pi^{-1}(p)=T_p(M) \).

 Veamos que es Haussforff.

 Sean \( x=(p,\vec v), y=(q,\vec w)\in TM \), con \( p,q\in M, \vec v\in T_p(M), \vec w\in T_P(N). \)

 - Si \( p\neq q, \) entonces existen abiertos \( U,V\subset M \) que separan \( p \) y \( q. \). Entonces los abiertos \( \pì^{-1}(U),\pi^{1}(V) \) separan \( x \) e \( y \) en \( TM \).

 - Si \( p=q \), tomamos una carta \( (U,\phi) \) centrada en \( p \). Tenemos un homeomorfismo:

\(  \overline{\phi}:\pi^{-1}(U)\longrightarrow{}U'\times R^n,\quad \overline{\phi}(s,\vec w)=(\phi(s),(\vec w(\phi_1)(s),\ldots,\vec w(\phi_n)(s))) \)

con \( U'\subset R^n. \)

 Como \( U'\times R^n \) es Haussdorff, existen abiertos \( V,W \) que separan \( \overline{\phi}(x) \) y \( \overline{\phi}(y) \). Por tanto los abierto es \( \overline{\phi}^{-1}(V),\overline{\phi}^{-1}(W) \) nos separan \( x \) e \( y \).
 
 Para ver que es segundo numerable utiliza que \( M \) es segundo numerable y por tanto existe una base numerable de abiertos con cartas coordenadas \( (U_n,\phi_n)  \). Como \( \phi_n(U_n)\times R^n\subset R^n\times R^n \) es segundo numebrable tiene una base numerable de abiertos \( \{V_{n,m}\} \). Por tanto la base numerable de TM será:

\( \{\overline{\phi_n}^{-1}(V_{n,m})\}_{n,m\in N} \)

Saludos.

Hola

 Tengo la duda de si \( X \) e \( Y \) son independientes y por tanto:

P((X,Y)=(x,y))=P(X=x)P(Y=y)

o bien lo que tienes es que:

\( P((X,Y)=(x_1,y_1))=s_1, P((X,Y)=(x_2,y_2))=s_2 \)  y la probabilidad es cero en otro caso.

 Si estamos en el segundo caso tu condición puede escribirse como:

\(  E(T(X,Y))\geq E(T(Y,X)) \)

Saludos.

Hola

 No sé muy bien si la pregunta se refiere a decir "cuántos valores distintos" puede tomar o "cuáles son esos valores".

 Llamemos \( f(s)=2s^2-1 \).

 Entonces las soluciones \( x,y,z \) de esa ecuación anulan todas al polinomio:

\( g(s)=f(f(f(s)))-s \)

 Ese polinomio es de grado \( 8 \). Cumple:

 - Su coeficiente de grado \( 7 \) es cero.

 - Su coeficiente de grado 0 es -1.

 - Sabemos dos raíces del mismo. Si resolvemos \( f(s)=s \) obtenemos \( s_1=1 \) ó \( s_2=-0.5 \)

 - Eso nos da dos posibles tripletas de soluciones del sistema de ecuaciones:

\(  (x,y,z)=(1,1,1) \) ó \( (x,y,z)=(-0.5,-0.5,-0.5) \)

 - Cualquier otra tripleta solución del sistema es de la forma:

\(  (x,y,z)=(a,f(a),f(f(a)) \)

 siendo \( a \) una raíz de \( g(s) \).

 - Por tanto las \( 8 \) raíces de \( g(s) \) son:

\(  1,-0.5,a,f(a),f(f(a)),b,f(b),f(f(b)) \)

 - Además \( g(s) \) no tiene raíces múltiples. Si una raíz es múltiple anula a la derivada. Pero:

\( g'(s)=f'(f(f(s))f'(f(s))f'(s)-1=64f(f(s))f(s)s-1 \)  (I)

 Si \( a \) fuese raíz múltiple, las raíces de \( g(s) \) serían:

\(  1,-0.5,a,f(a),f(f(a)),a,f(a),f(f(a)) \)

 Su producto coincide con el coeficiente del término independiente:

\( -0.5a^2f(a)^2f(f(a))^2=-1 \)

 Pero entonces \( a \) no anula \( g'(s). \) (I)

 - Conclusión salvo cambio de orden hay EXACTAMENTE cuatro tripletas distintas de soluciones:

\(  (1,1,1) \)
\(  (-0.5,-0.5,-0.5) \)
\(  (a,f(a),f(f(a)) \)
\(  (b,f(b),f(f(b)) \)

 y por tanto la suma toma a lo sumo cuatro valores distintos:

\(  3,-1.5,p,q \)

 - Sabemos además que la suma de las raíces de \( g(s) \) es menos el coeficiente de grado\(  8 \). Por tanto:

\( 1-0.5+p+q=0\quad \Rightarrow{}\quad p+q=-0.5 \)

 Falta un poco más...

Saludos.

P.D. Mucha historia hice para poco resultado... tiene que haber un mejor camino.

Hola

 Bufff... me cuesta mucho "diagnosticar" con precisión desde la distancia.

 Lo mejor sería que algún profesor de matemáticas pudiese charlar contigo un rato, para ver exactamente cuales son tus problemas y cómo solucionarlos.

 Te bastaría con saber bien los contenidos del Bachillerato. En ese sentido te pueden ser de utilidad los Tutoriales que el M.E.C. pone a disposición de alumnos y profesores.

http://descartes.cnice.mec.es/indice_ud.php

Saludos.

Hola

a)Encontrar un articulo que no se vende , sabiendo que no es bueno.

Ante esto a uno sólo le queda meterse en el almacén y buscar. 

Supongo que se refiere a "Encontrar la probabilidad de que un artículo no se venda, sabiendo que no es bueno".

Ponemos nombre a lo sucesos:

\( V \)- vender el artículo
\( B \) - artículo bueno

y a sus complementarios:

\( \overline{V} \) - no se vende
\( \overline{B} \) - artículo malo

Sabemos:

\( P(V)=0.885, \qquad P(V|B)=0.95,\qquad P(B|V)=0.966 \)

Nos piden:

\( P(\overline{V}|\overline{B})=1-P(V|\overline{B})=1-\dfrac{P(V\cap\overline{B})}{P(\overline{B})}=1-\dfrac{P(\overline{B}|V)P(V)}{P(\overline{B})} \)

Tenemos:

\( P(\overline{B}|V)=1-P(B|V) \)

\( P(V|B)=\dfrac{P(V\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B|V)P(V)}{P(B)} \)

De ahí hallas \( P(B) \) y \( P(\overline{B}) \).

Termina e intenta el apartado (b).

Saludos.

Hola

 Si no me equivoco, debe de darte:


Saludos.

Hola

 No tengo ni idea de Teoría de Nudos. 

 Pero en la penúltima página de las siguientes notas están dibujados algunos nudos. Entre ellos "tu" \( 8_4 \).

http://www-graphics.stanford.edu/courses/cs468-02-fall/projects/desanti.pdf

Saludos.

Hola

Por ejemplo, si escojo \( A_1 \)obtengo \( x_1 \)con probabilidad \( s_1 \)y \( x_2 \)con probabilidad \( s_2 \).

Eso se refleja haciendo el producto de matrices:

\( \begin{pmatrix}{x_1}&{x_2}\\{y_1}&{y_2}\end{pmatrix}\left({\begin{array}{c}{s_1}\\{s_2}\end{array}\right) \)

Pero sigo sin entender completamente el modelo. Insisto, ¿tus variables aleatorias \( X \) e \( Y \) que quieres que cuantifiquen?.

Saludos.

Hola

 Si no has dado derivadas hay que maximizar por métodos más artesanales.

 Queremos hallar el máximo de:

\(  S(a)=a\left(\dfrac{k}{2}-a\right)=-a^2+\dfrac{k}{2}a \)

 Opción I: Si has estudiado parábolas y sus propiedades, vemos que la función que tienes ahí es una parábola:

\( f(x)=-x^2+\dfrac{k}{2}x \)

 Deberás de saber que esa función tiene máximo si el coeficiente que acompaña a \( x^2 \) es negativo y mínimo si es positivo. Tanto uno como otro se alcanzan en el punto medio de las dos soluciones de la parábola.

 En tu caso si resolvemos la ecuación de segundo grado:

\(  -x^2+\dfrac{k}{2}x=0 \)

 obtenemos \( x_1=0,x_2=k/2 \). El punto medio es:

\(  \dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{k}{4} \)

 Por tanto el máximo se alcanza para \( a=\dfrac{k}{4} \).

 Recordemos que \( a \) era un lado del rectángulo y que teníamos \( 2a+2b=k \). Nos queda:

\( b=\dfrac{k}{2}-a=\dfrac{k}{2}-\dfrac{k}{4}=\dfrac{k}{4}=a \)

 y por tanto se trata de un cuadrado.

 Opción II. Manipulamos tu expresión "completando cuadrados" de forma análoga a cuando se prueba la fórmula de la ecuaciónde segundo grado.

\(  S(a)=a\left(\dfrac{k}{2}-a\right)=-(a^2-\dfrac{k}{2}a)=-(a^2-2\dfrac{k}{4}a+\dfrac{k^2}{4}-\dfrac{k^2}{4})=\dfrac{k^2}{4}-(a-\dfrac{k}{4})^2 \)

 Ahora un número al cuadrado siempre será mayor o igual que cero, por tanto:

\( S(a)=\dfrac{k^2}{4}-(a-\dfrac{k}{4})^2\leq \dfrac{k^2}{4} \)

 Además ese máximo valor se alcanza justo cuando:

 \( (a-\dfrac{k}{4})^2=0 \) es decir \( a=\dfrac{k}{4} \).

Saludos.

Hola
 
 Depende del ángulo. Si es uno "cualquiera" (p.ej. \( \alpha=\sqrt{2}*\pi/7 \))... mal vamos.

 Pero para ángulos escogidos (\( 30,45,60,15,72,...  \) ) hay argumentos geométricos ó trigonométricos para calcular sus razones trigonométricas.

Saludos.