[Frankoper]

Hola a todos!

Estoy con el siguiente ejercicio;

\(  f:\mathbb{R}^{3}\mapsto \mathbb{R} \) diferenciable en \( {\mathbb{R}}^{3} \) y

\( g(x,y)=(x^{2}+xy,x^{3}y^{2}+6y+2,ysen(\frac{\pi }{2}x)) \)

Se sabe que \( \frac{\partial f}{\partial v}(3,18,2)=0 \) siendo \( v=(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \) y que el plano tangente a \( h=f\circ g \) en el punto \( (1,2) \) es \( z=-4x+7y+1 \).

Calcular \( f(3,18,2) \) y \( \triangledown h(1,2) \)

Puede ser que con la ecuación del plano tangente encuentre el gradiente evaluado en el punto \( (1,2) \) y con eso empiece a despejar? O de que otra forma podría resolverlo?

[delmar]

Hola

Sí, de la ecuación se puede obtener el vector normal al plano, e incluso el punto de tangencia, la ecuación del plano es \( 4x-7y+z-1=0\Rightarrow{\vec{n}=(4,-7,1)} \) es un vector normal al plano, la ecuación del plano vectorial resulta de \( ((x,y,x)-(x_0,y_0,z_0))\cdot{(4,-7,1)}=0 \) donde \( (x,y,z), \ \ \ (x_0,y_0,z_0) \) son un punto genérico del plano y el punto de tangencia respectivamente. Al desarrollar la ecuación se llega a la forma : \( 4x-7y+z-(4x_0-7y_0+z_0)=0 \) esto implica que \( -(4x_0-7y_0+z_0)=-1 \) pero \( x_0=1, y_0=2 \wedge z_0=f(g(1,2))=f(3,18,2) \) por que se esta hablando de plano tangente a la gráfica de h, luego se puede despejar \( z_0=f(3,18,2) \)
Para lo segundo considera que el vector \( \vec{n} \) es normal a los vectores \( (1,0,h_x)\wedge (0,1,h_y) \)

Saludos

[Frankoper]

Muchas gracias!

Saludos!